[박수칠] 로피탈의 정리... 쓸까? 말까?
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다음은 2010학년도 수능 6월 모평 가형 문제입니다.
교육과정 개편으로 초월함수 극한의 초점이 도함수 유도에 맞춰졌기 때문에0/0 꼴이면서 분모, 분자 모두 미분가능하니 로피탈의 정리가 쓰고 싶어지네요.그래서 분모, 분자를 미분하면 다음과 같이 변형됩니다.좀 복잡한데 또 0/0 꼴입니다.여기에 로피탈의 정리를 한 번 더 적용하려면... 힘들겠죠?이 문제는 교육과정 내의 방법으로 접근하는 것이 더 쉽습니다.미분계수의 정의를 이용하는 것이죠.일단 분자를 다음과 같이 변형합니다.미분계수의 정의로 계산할 수 있는 부분이 보이나요?로 두고, tanx-sinx=t로 치환하면다음과 같이 미분계수의 정의를 적용할 수 있습니다.따라서 극한값은 다음과 같습니다.
위와 같이 그냥 풀어도 복잡한 문제가 2017 수능에 출제될 가능성은 낮습니다.
하지만 로피탈의 정리를 적용했을 때 풀이가 곤란해지는 문제는
다음 문제는 2008학년도 수능 6월 모평 가형 문제입니다.ㄷ의 극한을 보면 0/0 꼴이라 로피탈의 정리를 적용하고 싶어집니다.이렇게요."흠... 주어진 극한은 x=1에서의 미분계수를 의미하는군.그런데 함수 f(x)= | x-1 | 이 x=1에서 미분불가능하니 거짓!"이러면 틀리는 겁니다.로피탈 정리는 미분가능할 때만 적용할 수 있으니까요.또한 지난 글 ( http://orbi.kr/0007810298 ) 에서 설명했듯이f(x)가 x=1에서 미분불가능하더라도 위 극한의 값은 존재할 수 있습니다.이럴 땐 f(x) = | x-1 | 을 극한에 대입해서 풀어야죠.
다음 예제를 봅시다.이번엔 ∞/∞ 꼴이네요.분모, 분자 모두 미분가능하니 호기롭게 로피탈 정리를 적용해봅니다.음~ 발산하는 걸로 나옵니다.그런데 진짜로 발산할까요?다른 방법으로 확인해보죠.엉? 극한값이 1이라네요? 그럼 어느 쪽이 맞음?물론 두 번째 풀이가 맞고, 로피탈 정리는 틀렸습니다.
함수 극한 문제를 풀고 나서 답을 얻었을 때,계산이 제대로 됐는지 확인할 수 있는 다른 방법이 있다면 정말 좋겠죠?같은 맥락에서 삼각함수 극한을 근사로 계산하는 방법도 알아두는 것이 좋습니다.
기출 문제를 풀다 보면다음과 같은 함수들의 그래프를 그려야 할 때가 있습니다.그런데 점근선을 찾기 위해 x→∞일 때의 극한을 계산하려고 하면 마땅한 방법이 없습니다.이럴 때 로피탈의 정리를 이용할 수 있죠.만일 함수식이과 같이 분자가 이차식이라면 로피탈의 정리를 두 번 쓰면 됩니다.하지만 로피탈 정리를 적용한 결과가 발산한다면 성립하지 않을 수 있기 때문에다음 함수의 점근선을 찾기 위한 용도로 로피탈 정리를 이용하는 것은논리적으로 부족함이 있습니다.또 문제집을 풀다 보면 y=x lnx 같은 함수도 나옵니다.이 함수는 x→0+일 때의 극한이 0·∞ 꼴인데 변형할 방법이 없습니다.그런데 x=1/t로 치환한 다음 로피탈의 정리를 적용하면 극한을 구할 수 있죠.
로피탈의 정리는 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 극한 공식을 확인할 때이용할 수 있습니다.헷갈리기 쉬운 로그함수 극한 공식 암기에 좋겠죠?
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후후
오 로피탈 아는거다 하면서 눌렀다 문송을 외치며 뒤로가기를 누릅니당
공감... 근데 과외쌤도 로피탈 안쓰는게 마음편하다고 걍 쓰지말라고했어여 ㅋㅋ
요즘 수능 경향으론 교과서적인 해법만 공부해도 충분하죠~
글 다시 보니 첫 번째 예제부터 삼각함수네요... 죄송 ㅡㅡ
문송합니다 문송합니다
아이고 죄송하게 왜 이러십니까 ㅡㅡ;
어차피 교육과정에 없는내용이라 평가원에서 절대 안낼껄로 예상해봄~
2222222222
그래도 로피탈 쓰면 도움이 되는 것도 있고,
독이 되는 것도 있고 그렇겠죠.
카르다노의 해법이... 타르탈리아가 처음 발견한거였나요? 책을 본지가 좀 오래되서 기억이... 2차항을 처음 지울방법을 생각해낸게 타르탈리아였다고 본것 같은데.. y-b/3a치환..
2차항 소거는 타르탈리아가 맞을텐데 그 이전에 다른 해법이 있었을 겁니다.
그덕에 카르다노가 비밀 유지 협약을 깰 명분(?)이 생겼다고 들었어요.
그렇군요 ㅎㅎ 현대수학자들은 의외로 3차방정식 해법을 스스로 찾아내는 사람도 제법 있다고 하더라구요. 역시 결론을 아는상태에서 가능하다는 확신이 있다없다가 큰 차이를 낳는것 같습니다.
대수학에서의 피타고라스 정리쯤 되나보군요 ^^
작년 수A 28번 로피탈쓰고 2분컷...
0/0 꼴의 분수함수라면 로피탈 정리가 잘 통하죠~
문쏭
괜찮쏭!
저는 한번도 써본적이없네요 애초에 고등학교문제들이 로피탈이 필요없다가 전제라 오히려 손만더가고 시간차이도 안나더라구요 그리고 내 지식에서 증명도안되는것 쓰는건 내 자존심이 허락하지않는다!
증명 별거없음 고등학교때 로피탈로피탈했는데 대학가서 로피탈 정리 증명이 반페이지만에 끝나서 허탈.. 별로 어렵지도 않음...
로피탈이 편해도 쓸려면 연습이 필요하니까요.
알거면 제대로 공부해서 쓰고, 아니면 모르는게 좋죠~
로피탈 잘쓰고 익숙하시면 써도 되는데 저같은경우엔 아무도 안알려줘서 잘 못쓰는 관계로 한번도 안썼어요.
그리고 수능 1등급.
안써도 상관없습니다.
맞습니다.
알아두면 좋은거지 모른다고 불리한게 아니니까요.
문과기준으로는 무조건 쓰는게 시간절약에 도움되는것같고 이과는 가려써야되는게 좋겠군요
0/0꼴의 분수함수 극한으로 한정하면 그럴 수도 있습니다.
하지만 나형에서도 함수의 극한과 미분가능성을 연결시키는 문제가 나올 수도 있기 때문에 조심해야죠.
대학교 입학해서 첫수업때 들은게 카르다노해법이었는데 오랜만에 이름 다시들어보네요 ㅋㅋ
미적분1,2 모두 구매했는데 기대중이에요!
감사합니다.
주마다 대단원 하나씩 나오는 부교재도 잘 봐주세요 ^^
외적 칼럼도 하나 부탁드려요!
저도 많이 배우네요 감사합니다!!
저도 감사드리구요, 나중에 기벡쪽도 다뤄보겠습니다 ^^
ㅋㅋ16수능 28번에서 정리하기귀찮아서 로피탈썻는데 ㅋㅋ
수능에서 귀차니즘이 ㅋㅋㅋ
진정한 용자십니다.
이과에용 ㅋㅋㅋ
아 B형 28번이군요.
로피탈 정리 쓰면 예쁘게 정리되는 문제죠~
문과라서 ..스미마셍
다이조부데스~ ^^
내신용으로만 ㅎㅎ
수능은 소중하니까요~ ^^
로피탈!! 사용하면 안될 때도 있다던데...
다음칼럼에 도형도 해주시면 감사할따름입니다!!
구체적으로 어떤 단원을 얘기하시는 건가요?
기벡쪽 다루실 때, 도형해석하시는 걸 보고 싶었습니다.
기벡은 문서화된 자료를 제일 적게 만들어서
앞으로 해야 될 일이 참 많지요 ㅎㅎ
시간이 좀 걸리겠지만
얼마 전에 포스팅했던 도형에 대한 삼각함수 극한 문제 형식으로
공간도형/벡터 문제에 대한 자료도 짬내서 만들어 보겠습니다.
감사합니다! 항상 감사하게 생각합니다!
부교재 작업이 우선이라 진짜 시간 좀 걸릴거구요,
감사 인사는 나중에 자료 받으신 후에 하셔도 됩니다 ㅎㅎ
아뇨.. 듣고 힘이 되실까해서요.. . 감사는 감사를 느낄 때 매번할겁니다. ㅎㅎ
선생님 첫번째 캡쳐에서
구간 i 전체에서 g'(x)=0 이 아니라는 조건이 붙는 이유가 무엇인가요?
분모가 0이면 안되기 때문입니다 ^^
g'(a)만 0이 아니면 되는거 아닌가요
본문에서는 x=a를 포함하는 구간에서 g'(x)≠0이라고 했지만,
엄밀히 따지면 x=a의 좌우에서 g'(x)≠0이고,
x=a에서는 g'(x)≠0, g'(x)=0 모두 가능합니다.
일반적인 분수함수의 극한을 생각하면 쉽습니다.
예를 들어 lim x→a ( x²-a² ) / ( x-a ) 는
x=a의 좌우에서 (분모)≠0이고, x=a에서 (분모)=0이지만
극한이 존재하거든요.
또 다른 예로 함수 g(x)가
x≠a일 때 g(x)=0, x=a일 때 g(x)=1로 정의된다고 합시다.
그러면 lim x→a ( x²-a² ) / g(x)는 분모가 0이기 때문에
극한이 존재하지 않습니다.
가정에서 lim x→a f'(x) / g'(x) 가 수렴한다고 했기 때문에
구간 I에서 g'(x)≠0이라는 조건은 고려하지 않아도 되는데
괜히 넣었다 싶네요 ^^;
그 조건 뺐습니다.
로피탈 정리 적용 결과가 수렴한다면
고려할 필요가 없는 부분이예요.
문과생인데 작년 수능 28번
로피탈로 풀었어요♥
댓글 보니 작년 수능에 로피탈 쓴 분들 많은 것 같네요.
문과생♥로피탈 ㅎㅎ
와 제가 항상궁금해했던것에 대해서만 글올려주시네요 글올라올때마다 오오오!!이러면서본다는..ㅎㅎ잘읽었습니다!!
감사합니다~ ^^
저도 책 쓰면서 고민 많이 했던 부분들이거든요.
가르치는 쪽이나 배우는 쪽이나 궁금한 부분은 비슷한가 봅니다.
학교 선생님께서 문과는 차피 다 다항함수니까 문과만 쓰라고 로피탈의 정리 알려주셨어요
일반적인 계산문제는 괜찮지만,
개념 관련 합답형 문제에서는 다항함수로
한정되지 않을 수 있으니 주의가 필요하죠~
명제나 개념 합답형 진짜....
쉽게 해결할수 있는 방법 없을까요?
반례찾는것밖에 방법이 없나요??
교과서 단원별로 나오는 명제들 다 익히고,
그걸 바탕으로 접근하는 것이 기본이죠.
본문에 있는 2008학년도 수능 6월 모평 가형 9번을 보면
ㄱ은 '미분가능하면 연속이다'라는 명제를 미분계수의 정의와
연속이기 위한 필요충분조건으로 표현한 것 뿐입니다.
이처럼 교과서에서 배운 명제가
어떤 용어/기호/수식으로 표현되었는지를 파악하는 것이 기본이고,
명제가 꼬여서 참, 거짓 판단이 어려우면 대우의 참, 거짓을 조사한다거나
반례를 찾는 것은 보조적인 수단이구요.
기출이나 양치기 문제집에서 합답형 모인 부분 쭉~ 풀면서
감을 잡는 것도 좋은 방법이죠. 이 때도 교과서에서 배운 명제를
제대로 알고 있어야 깨닫는 것이 많습니다.
B형에선 계륵같은 존재인데
A형에선 막힌 풀이를 뚫어줄 수도 있는 존재기도 하죠.
로피탈의 정리를 알고 있었음 좋았겠지만,
교과서적인 해법에 대한 학습이 부족한 점도 있지 않았을까 싶습니다.
댓글에서까지 안타까움이 느껴지네요...
실모같은거 풀다가 막상 0/0꼴인지 확인안하고 로피탈 써서 2점짜리를 틀렸던 기억이..
최근 수능에서 함수 극한 2점 문제가 그냥 대입하면 풀리는 것들인데
출제 의도가 로피탈 좋아하는 수험생들 낚을려는 거였군요!
삼반수하면서 보기에 ㅋㅋ부족함이 없나요.
본문 얘긴가요? 교재 얘긴가요?
교재요 ㅎㅎ 교과서 내용은 다 알고있어서 복습하기에 좋나 물어본거에요
개념 설명에는 부족함이 없고,
문제 수는 부족함이 있을 수 있지만 부교재로 커버 가능하고...
미적분1, 2 밖에 없다는 점이 진짜 부족한 점이죠 ^^;
책 언제다나와요??
확통은 올해 여름~가을 예정이고, 그 다음은 기벡-수2 순으로 나옵니다.
다 나오려면 내년 후반이겠네요... ㅜㅜ
한번도 로피탈 안써서...
안써도 아무 지장 없어요.
쓸려면 제대로 알고 써야되구요~
원래문과라그런건지
입시끝나서 많이 까먹어서 그런건지 모르겠지만요
잘이해하지는못했지만요
글을 전문적으로 써주셨다는 느낌이 드네요!!
아무래도 초월함수 극한이 있다 보니... ^^;
'전문적'이라는 느낌 듣기 좋네요~
다음 글도 열심히 쓰겠습니다!
작년수능 28번 a형문제 아무리 해도안풀리다가 결국 로피탈써서 풀려서 허탈했다는 친구들얘기 많이들은거 생각하면 장착해도 나쁘지는 않을듯하기도하고...그러네요
교과서적인 해법을 제대로 알고 나서
다양한 도구를 준비하는 차원에서 공부해두면 좋죠.
대신 어설프게 알면 위험할 수 있고,
연습을 통해 적용할 수 있는 상황을 제대로 파악해둬야 합니다.
그냥
수렴렴렴 계산산산
근사
하면