(스압) 미분방정식을 풀어보자 - 1편

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이 만화를 제작하는 데 요구되는 미분방정식 내용을 공부하기 위해 공업수학도 공부하고 그림도 그리고 설명까지 하느라 고생한 OnlyTraY를 위해 좋아요 부탁드립니다

-저렇게 바로 답이 나오는구만!

-적분상수는 장식이냐 이 무지한 녀석아ㅡㅡ

-dy/dx를 분수처럼 사용할 수 있다고 했으니 저런 식으로 식을 변형시키면 돼. dx는 x에 관한 식만, dy는 y에 관한 식만 포함해야 해. 이제 양변을 적분하면서 적분상수까지 고려해야 하지. 여기서 저 적분상수 C는 -2a인데, 최종 답에서는 적분상수를 계수가 1인 C, a, b, p, q 등으로 정해야 해.

-이것도 똑같이 dy, dx 분리를 하면 간단하게 풀려. 여기서 우린 역삼각함수의 미적분을 사용할 거야. arctan(ax)의 미분형은 저기에 적어놨어. 마지막 줄에선 간결함을 위해 역함수를 활용해 y=f(x) 꼴로 고쳤어. 자, 맞지?

-여기서 치환한 u는 상수가 아니라 "함수"야. y=ux 꼴로 고쳐서 각각 미분하면 dy에 관한 식이 나오는 데 그걸 통해 주어진 미분방정식을 저 식으로 변형시킬 수 있겠지.

-그러면 du, dx 변수 분리를 통해 y를 간단히 구할 수 있어.

-혹은, y=ux를 x에 대하여 미분하여 y'의 식을 구한 다음, 저 미분방정식에 대입하여 정리하면 마찬가지로 간단히 풀 수 있어. y', u'이 뭔지는 저 위에 적어뒀으니 혼동하지마. 

-우선 함수 u=x+y-2라고 치환하고 미분해. 그럼 du=dx+dy가 나오는데, 여기서 dy/dx에 관한 식까지 구할 수가 있어. dy/dx는 곧 y'을 의미하니 미분방정식에 대입하고 변수 분리 작업을 통해서 y의 일반항을 구할 수 있지.

-그런데 문제에서 함숫값이 나와있으니 그 값을 대입해서 적분상수가 뭔지 밝히면 끝나. 즉, 답은 저렇게 나오게 돼. 

-이것도 그냥 똑같이 이전 유형처럼 변수 분리를 통해서 풀 수 있는데?

-자, 이러면 어쩔 거지!? 변수 분리를 사용해서 풀 수 있을 것 같나?!

-먼저 이런 형태의 미분방정식이 있다고 치자. 그런데 이 식을 풀기 전에 알아야 할 게 있어. 바로 "편미분"이야.

-편미분? 편하게 미분한다는 뜻ㅇ-

-(개소리 차단) 먼저 편미분이 뭔지 간단하게 알려줄게.

-f(x, y)의 식이 다음과 같이 주어질 때, x에 대해 편미분해보자. 그러러면 x를 제외한 나머지 변수들은 모조리 다 "상수 취급"해서 x에 대해서만 미분하면 돼. y에 대해 편미분할 때는 y에 대해서만 미분하면 되고. 쉽지?

-이건 이계편도함수 중 두 가지 경우인데, 위는 x에 대해 편미분 후 y에 대해 편미분하는 거고, 아래는 편미분하는 변수 순서를 뒤바꾼 거야. 함수가 연속인 일반적인 경우에는 "클레로의 정리"에 의해 두 식이 서로 같게 나와.

-클레로 정리가 뭔데

-나도 몰라

-?

-u(x, y)를 미분한 식과 미분방정식의 형태가 서로 같은 경우라면, 위에 적어둔 식들이 성립함을 알 수 있어. u=c의 형태의 의미도 적어뒀으니 헷갈리지 말도록.

-여기서 함수가 연속이라면 y에 대해 편미분한 M과 x에 대해 편미분한 N이 서로 같아야 해. 위에서 언급한 2개의 식을 통해서 u를 구할 수 있어. 여기서 u의 적분상수는 하나의 변수에 관한 함수로 나타남을 확인해야 해. 하나의 변수를 상수로 취급하고 미분한(편미분) 형태를 다시 그 변수를 상수로 취급하고 적분했으니까. 이 함수를 정확히 구하는 방법은 문제에서 설명할게.

-아차, 여기서 조심해야 할 점은, M_y(y에 대해 편미분한 M)와 N_x(x에 대해 편미분한 N)가 서로 다르면 u를 바로 구할 수 없다는 거야. 미분방정식의 형태와 u를 미분한 형태가 일치하는 경우일 때만 M=u_x(x에 대해 편미분한 u), N=u_y(y에 대해 편미분한 u)라고 둘 수 있어서 M_y와 N_x가 서로 같게 나오는 거지, 두 방정식의 형태가 일치하지 않다면 M=u_x, N=u_y도 성립하지 않아 결국 M_y와 N_x가 다르게 나올 수 밖에 없다는 거야. 이 경우는 바로 밑에 나와있어.

-다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자. P_y와 N_x가 서로 다른 경우야. 이때는 미분방정식에 Factor F를 곱해서 결과적으로 M_y=N_x가 성립하도록 만들어야 하지. 그럼 새로운 미분방정식이 만들어져.

-아니 근데 저런 형태 가지고 뭐 어쩌겠다는 거야??

-물론 저런 형태만으로 무언갈 구하길 기대할 수는 없어. 그러니까 새로운 접근을 해보자 이거지.

-먼저 F가 x에 대한 함수일 때야. 그럼 F는 변수 y가 없으므로 F_y는 0이 되서 상황이 훨씬 더 간결해지게 돼. 따라서 F를 구하기 위한 해법은 저런 식을 참고하면 된다 이거야.

-오, 엄청 깔끔해졌네. 결과 식은 그렇지 않지만

-다음은 F가 y에 대한 함수일 때야. 이 경우에는 x 변수가 없으니 F_x=0이고, 똑같은 방법으로 F를 구하기 위한 식을 도출해낼 수 있지. 그럼 아까 그 처음 문제를 이 공식들을 가지고 한번 풀어보자.

-M, N을 다음과 두면(굳이 M, N이 아니어도 괜찮음) M_y=N_x가 성립하므로 u의 형태를 바로 구할 수 있어. u의 적분상수가 y에 대한 함수라고 했지. N=u_y이므로 아까 구한 u의 식을 y에 대해 편미분하면 그 적분상수가 그냥 상수임을 알 수 있어. u=x²y+k(y)=x²y+a 인데, 결국 u=c로 나타내야 하므로 x²y=-a=C임을 알 수 있지.

그럼 아까 그 복잡한 미분방정식을 똑같은 방법으로 풀어보자.

-보자, P_y=Q_x가 아니네, 그럼 F를 구해봐야 해. 공식을 통해서 F를 구하기 위한 식을 도출해보면... 어라? 둘 다 안 되네..? 

-방.. 방금처럼 F가 하나의 변수에만 의존하는 함수가 아닌 경우에는 보통 저런 식으로 F가 무엇인지 알려주는 경우가 허다해....;;

-그렇구나(떨떠름)

-F를 곱해보면 P_y=Q_x가 맞다는 걸 알 수 있지.

-그렇다면 u의 형태를 구하고 적분상수도 구한 후 정리하면 답이 금방 나오지.

-먼저 P_y=Q_x가 맞는지 확인해. 서로 다르면 F를 구해봐야 하지.

-각 공식을 통해서 구해보면 F는 y에 대한 함수임을 알 수 있어. 왜냐하면 아까 경고문에서 언급한 듯이 여기서 F를 구하는 방법에는 하나의 변수를 상수로 취급하는 접근이 포함돼있으니 F를 구하는 식에서 x, y가 둘 다 포함되는 식이 있으면 안 된다는 거야. 

-아까 구한 F를 그 미분방정식에 곱하고, P_y=Q_x임을 확인한 후 내가 적은 풀이처럼 풀다보면 답의 형태가 나와.

-문제에서 함숫값이 주어졌으니 대입하면 최종적인 답이 나오겠지.

-먼저 x만 포함하는 dx와 y만 포함하는 dy로 나누고 정리하고, 한 마디로 변수 분리지. 이걸 사용해서 각각 적분하면...

-크흠...;; 다시, 똑같은 방식으로 계산하면, F로 가능한 식이 두 경우 모두 가능하다는 걸 알 수 있어. 하지만 나는 더욱 간결한 식인 2x을 선택해서 F를 구할 거야.

-아니, -2csc(2y)로 계산해봐. 물론 상관없다마는...

-너 혼자 그렇게 계산해

-이제 위처럼 u의 형태를 구할 수가 있지. 말로 설명하는 것보다 내 풀이를 보는 게 백배천배 더 나을 걸??

-정답이야.

-내 의견이 정답이란 거야, 내 최종 답이 정답이란 거야?

-...후자는 확실해.

-자, 이것이 우리가 현재 풀어야 할 미분방정식이다. p, r은 각각 상수가 아니라 x에 대한 함수임에 주의하고.

-저 미분방정식에 함수 F(x)를 곱해서 저런 형태가 만들어졌어. 근데 만약 pFy=F'y라면 Fy'+F'y=(Fy)'이란 걸 눈치챌 수 있어. 또한 F도 p에 관한 식으로 나타낼 수 있단 걸 알 수 있고. 우선 p(x)를 적분한 걸 h라고 치환해두자.

-그럼 F는 exp(h)임을 알아낼 수 있고, 그에 따라 y의 형태도 위처럼 나타내는 게 가능하지.

-동작 그만. p를 적분하는 과정에서 적분상수를 네 책상 서랍의 깊고 어두운 공간 내부에 수년동안 고립시켜서 봉인해둔 게임기마냥 까먹은 까닭은?????????????

-까먹은 게 아니야, 무시한 거지. 왜 무시했냐면...

-좋아, 네 말대로 p를 적분할 때 적분 상수를 고려한다고 하고 다시 계산해보자. 덤으로 F의 값에 ±기호를 첨가해보자. 그렇다면 위에서 적은 풀이를 자세히 살펴보면, 결국 최종적으로 적분 상수를 고려해서 계산한 결과와 무시하고 계산한 결과가 서로 같다는 걸 알 수 있지. 한 마디로, F를 구할 때의 절댓값에 의한 ±기호와 p를 적분할 때 적분 상수는 무시해도 돼.

-우선 p=-2, r=-4x임을 확인하고, h가 p를 적분한 것이라고 했으므로 결국 h=-2x가 되네. 적분상수는 무시하라고 했으니 생까고. 그리고 y의 식에서 r*exp(h)를 적분하는 게 나와있네. 뭘 적분하는지 살펴보면... Tlqkf, 부정적분을 해야 하네, 내가 제일 귀찮아 하는 건데.

-귀찮아도 해.

-자, 됐냐. 이때 적분상수도 그냥 무시하면 돼. 이유는 파란 문장에 나와있어.

-최종적으로 y는 저렇게 나타남을 알 수 있어.

-y'의 계수는 항상 1에 맞춰져야 함에 주의해! h와 r*exp(h)를 적분한 걸 각각 알아낸 후, 공식에 대입하면 그냥 게임 끝!

-y'의 계수는 항상 1이어야 하고, y'+py=r의 공식에 각각 식들을 대입해서 풀기만 하면 그만이지. 중간에 치환적분이 요구되긴 하는데, 그리 어려운 건 아니니 겁먹진 말고.

-y의 형태를 구하고 함숫값을 이용하면 정답이 도출되지.

-y'+py=r 꼴이 아닌 y'+py=gy^a꼴인 경우에는 함수 u=y^1-a로 나타내고 미분해서 정리해야 해. 그 꼴은 위에 나타냈어. 

-u'=(1-a)y^-ay'에서 y'의 형태를 미분방정식에 있는 식으로 바꾸고, u=y^1-a라고 정의했으므로 결국 y'+py=r 꼴이랑 일치하는 새로운 미분방정식이 생기게 되지. 이걸 푸는 방법은 아까 설명했으니 생략.

-위의 미분방정식에서 a=2임을 알 수 있고 그에 따라 u=y^1-a=y^-1임도 확인할 수 있어. 새로운 미분방정식 u'-u=-1은 덤이고.

-다시 y'+py=r에 대한 공식들에 식들을 대입해서 풀어보자. 이때 이 과정에서 구하는 것은 y가 아니라 u=y^-1임에 유의해라!!! 그리고 여기서 구한 u로 하여금 y를 주어진 함숫값을 생각하며 구할 수 있어. 

-이 문제는 주인공이 y'이 아니라 x'이야. "대체 y'으로 5ㄸ..." 아 잠만, 이 표현보단 다른 게 낫겠다.(눈치)

-왜? 뭐가 문젠데?

-..그냥 마음이 내키질 않아. 아무튼 "대체 y'으로 어떻게 접근하란 거G" 이런 틀에 갇혀있으면 당연히 못 풀고, x'+px=r 꼴로 고쳐서 풀어야 해. 공식을 활용하면 결국 답이 나오지. x=f(y)꼴이라 좀 놀랐지?

-...아니 잠깐만.

-으아아ㅏㄱ갇저490내ㅅ허ㅐ걎ㅎ4ㅐ3ㅂ룯울ㅊㄷ쟈4ㅅ3보ㅑㅠㅁㅜ   용서해주시오, 제발...!! 끄헣헑헠헗허

-미분방정식에서 a=-1임을 알 수 있고 그로 하여금 u와 u에 관한 미분방정식도 밝혀낼 수 있어. u'+pu=r 꼴이므로 쉽게 풀 수 있지. 근데 여기까지 구한 건 y가 아니라 u란 것에 조심해야 해. 아무튼 u도 구했겠다, 다시 y에 대해 정리하고, 함숫값까지 챙기면 맨 밑의 식이 정답이 돼.

-저 기괴한 미분방정식을 만족시키는 하나의 근을 y₁이라고 두고, 또 다른 근을 y₂=uy₁이라고 둔다면 (u는 x에 관한 함수) 아래와 같이 계산할 수가 있겠지.

-식을 정리할 때 u'', u', u에 따라 항들을 분류해서 묶어봐.

-u의 항은 내 풀이에서 설명한 것처럼 0이 됨을 알 수 있고, 결국 훨씬 더 간단한 미분방정식이 생기게 됐어. u'=v라고 치환하고 v를 구할 때, p를 적분한 결과에서 적분상수를 무시하라고 돼있는데, 이건 y₁이 미지수 없이 나타나 있으니 y₂도 어떤 미지수 없이 표현하기 위하여 적분상수는 무시하라고 명시해놓은 것으로 보여. 아무튼 이걸 풀고 정리하면 v=u'의 식과 y₂의 식이 드디어 다음과 같이 도출됨을 알 수 있어.

-미분방정식 형태가 y''+py'+q=0 꼴이란 걸 상기하고 다시 계산하면, v가 양이든 음이든 상관없음을 알 수 있어. 근데 우리는 그냥 v를 양으로 놓고 계산하자는 거지.

-긴 말 할 것도 없이 공식들에 식들을 다 대입하고 계산하고 정리하면 끝나. p의 적분 형태를 구할 때 적분상수는 필요없다고 언급했었지? 이런 유형에서는 또 다른 해를 구할 때 미지수가 없는 함수를 원한다는 것도.

-네 말대로 적분 상수를 고려했다.

-....알겠지?

-HOLD UP!

-y''의 계수는 항상 1로 맞추고, y₁을 이용하자. p를 적분할 때 적분상수는 신경쓰지 않는다고 했고... 이를 토대로 v를 구한 후 y₂도 구하면..? 끝! 

-y'=v라고 두고 연쇄율을 사용하면 다음과 같은 식이 나와.

-??????????

-여기서 y'', y'은 각각 v*dv/dy, v³로 바꾸고 siny는 그대로 siny라고 둬. 그리고 변수 분리 방법을 이용하여 v와 y에 관한 식을 도출하고, v=y'임을 이용하여 다시 변수 분리 방법을 쓰면 y에 대한 함수가 나오게 돼. 어때?

-저런 형태의 미분방정식을 생각해보자. 여기서 a, b는 상수야! 이걸 구하기 위해 y의 형태를 추측해보자는 거지. 무엇으로?

-몰라 toRi(망설임 없이 대답)

-...최소한 고민이라도 하고 대답하지?

-바로 y=e^λx야. 이때 λ는 함수가 아니라 상수야! y의 형태를 저걸로 가정해보자 이거지.

-아까 가정한 y의 식을 통해서 미분방정식에 대입하면 λ에 대한 이차방정식이 나오는 걸 확인할 수 있어! 자, 이차방정식이야. λ를 구하기 위해 근의 공식을 써야 하는데, 근의 공식이 뭔지 알지?

-그래, λ는 저런 식으로 주어지지. 그런데 저 루트 안의 식의 부호에 따라서 총 3가지의 경우들로 나뉘어져.

-λ가 서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근을 가질 때 말이야?

-눈치가 빠르군.

-먼저 첫 번째, λ가 서로 다른 두 실근을 가질 때야. 이땐 별 거 없어. 저런 형태의 함수가 y라는 것만 알면 돼. y₁=e^λ₁x와  y₂=e^λ₂x가 각각 y''+ay'+by=0의 근임을 알고 있으니까 말이야.

-다음은 λ가 중근을 가질 때야. 이때 y₁만 구할 수가 있는데, 꼴랑 저거 하나 가지고 만족할 수는 없잖아, 그치??

-우리는 또 다른 근을 찾기 위해서 y₂=uy₁ (u는 x에 대한 함수)이라고 잡고, 각 미분한 형태를 미분방정식에 대입해서 계산하여 알맞는 u를 찾아낼 거야.

-u의 계수에서 미분방정식의 형태를 고려하면 0이 되는 건 당연하고, u' 게수에서 y₁의 형태를 생각해보면 역시 0이 된다는 게 자명하지. 그렇다면 결국에는 u''=0이어야 한다는 소리인데...

-그러면 u가 일차함수하는 얘기여?

-정답이야. y₂=uy₁이라고 했으니 새로운 근은 저렇게 나타남을 확인할 수 있지.

-마지막으로... λ가 서로 다른 두 허근을 가지는 경우야. 이때는 다른 공식이 필요해..

-어떤 ㄱ..

e^ix=cos(x)+i*sin(x) : 나 불렀냐!!!!!!!

-아 ㅆㅂ 깜짝이야

-...그래, 저 오일러 공식을 빌려야 해.

-오일러 공식과 그의 구성 요소 삼각함수의 식은 위와 같아.

-아오 저건 또 뭔 혼종이야

-어허! 우리가 현재까지 지니고 있는 그 어떤 어휘로도 함부로 형용할 수가 없을 정도로 위대한 분을 지금 모독하시는 게냐!? 우리가 마음대로 사용할 수 있도록 친히 허락을 내려주신 것에 감사할 줄도 모르고!

-저건 사람이 아닌 데 뭔 "분" 타령..;; 너무 과몰입한 거 아녀?

 e^ix=cos(x)+i*sin(x) : 둘 다 조용.

-죄송합니다.

-ㅈㅅ

-아무튼 간에, 오일러 공식을 활용하여 삼각함수와 지수함수가 결합된 식으로 고치고, 저 풀이처럼 적당히 계산하면, y의 최종적인 답이 나와.

-으아아아아아아아아아아아아아아아아아악!!!!!! 뭐가 저리 복잡해!!!!!!!!

-내가 한번 풀어볼게..

-먼저 λ에 대한 이차방정식을 풀어보면, 서로 다른 두 실근이 나옴을 알 수 있으니 y의 형태가 바로 나와.

-함숫값과 도함숫값이 나와있으니 미지수들을 연립하면 y의 진짜 모습이 나오지.

-λ가 중근을 가지네? 그러면 그 경우에 적합한 공식을 가져오면 되지! EZ!!!

-허근 맞군

-누가 아니래?

-λ가 서로 다른 두 허근을 가지므로 아까 그 복잡한 공식을 참조해야 해. 생각보다 금방 끝나네.

-이거하고 같은 문제 아니야?

-저런 형태의 미분방정식을 "Euler-Cauchy Equation"이라고 불러. 저걸 풀기 위해서는 y의 형태를 또 추측해야 해. 방금은 y''+ay'+by=0이어서 y=e^λx로 잡았는데 이번에는 달라.

- y=x^m. m은 상수야. 이걸로 잡아야 해.

-아까와 유사한 방법으로 y와 y', y''를 미분방정식에 대입해서 적절한 m을 찾아야 해. m을 찾는 데 중요한 이차방정식이 또 세워졌네. 여기서 주의해야 할 점은, m의 계수가 a가 아니라 "a-1"이라는 점이야. 이전 유형에서 λ를 구할 때는 y''의 계수가 굳이 1이 아니어도 상관은 없었다만, 여기서는 달라. 항상. 무조건. 반드시. y''의 계수를 1이라고 잡아놓아야 해. m의 계수가 미분방정식의 y'' 계수가 1일 때의 y'의 계수 a에서 1을 뺀 것이기 때문이지.

-이 경우에서도 역시 루트 안의 값의 부호에 따라 총 3가지의 경우들로 나뉘어져.

-m이 서로 다른 두 실근을 가질 때는 뭐, 별 거 없어. 이전 유형이랑 비슷해. e^λx가 아니라 x^m이라는 점 빼곤.

-m이 중근을 가질 때는 예상했 듯이, 자명한 하나의 근이 나오게 돼. 근데 우리는 겨우 하나만으로 만족할 수 없어.

-m이 중근을 가진다는 조건을 통해 b를 변환하고, 새로운 미분방정식을 풀어보면, y₁=x^m이라고 주어져 있으니 y''+py'+qy=0에 알맞는 공식을 활용하면, y₂가 나오게 돼.

-왜 ln|x|가 아니라 그냥 lnx야?

-...x^m에서 x가 음수이면 실수 전체의 집합에서 정의가 안 되는 경우가 있기 때문에 일부러 정의역을 양수로 제한하기 위해서 절댓값을 굳이 붙이지 않은 것 같아.

-그럼 복소수에서 x가 음수이면 어떤 값이 나올 수 있단 얘기네?

-...아마도? 각설하고,

-y의 최종 식은 다음과 같아.

-m의 계수에서 1을 빼고! 이차방정식 풀고! 두 실근인 거 확인하고! 끝!

-m의 계수에서 1을 뺀다는 거 기억하고 이차방정식 풀ㅁ.... 뭐여 왜 저리 더럽게 나와 설마 나 틀린 겨?

-y''의 계수는 반드시 1로 맞춰져야 한다는 걸 잊어버렸네;; 그렇게 하고 다시 m에 관한 이차방정식을 풀면 중근이 나오므로 공식에 의해서 답이 저렇게 나오는 걸 알 수 있어!

-이 미분방정식을 풀어볼 거다.

-y''의 계수가 1인지 확인하고, m을 구하고, 허근인 거 알았으니 오일러 공식을 빌려야 해. 이런 젠장 또 "오일러 공식"이야 나는 그 공식을 반드시 숭배해야만 해

-ㅈㄹ말고 빨리 설명이나 하쇼

-아무튼 오일러 공식의 틀에 맞도록 x^m을 적절하게 변형시키면 위와 같은 식으로 만들 수 있어. 그러면 풀이에서 보이는 것처럼 최종적인 y의 답을 얻을 수 있게 되지.

-자, 이거 해봐.

-우선 y''의 계수가 1인 거 확인했고, m이 허수인 거 바로 알아차렸고, 오일러 공식을 가져와서 식을 적절히 변형시키고. 그러면 우선 y의 전형적인 틀은 갖추었네.

-이제 함숫값과 도함숫값을 이용하면 y의 진정한 모습을 볼 수가 있군.

-저런 형태의 미분방정식의 해는 총 두 가지의 해가 있어. 일반해와 특수해. 이 둘이야. 일반해는 적분상수가 포기된 해, 특수해는 초기 조건을 만족하는 해라고 하는데, 우선은 각각 저 아래의 식을 만족하는 해라고 생각하면 돼.

-우웩 이 표는 또 뭐야

-이건 미분방정식의 우변에 있는 함수 r의 형태에 따라 우리가 결정해야 하는 특수해 y_p의 형태야.

-우선 일반해 y_h부터 구해보자. 왜냐하면 특수해보다 이걸 먼저 구하는 게 더 빠르거든. 우선 일반해는 구했고,

-다음은 특수해야. r이 이차다항식 꼴이므로 특수해 형태도 똑같이 이차다항식 형태로 정하자고. 이 식을 미분방정식에 대입하고 조건에 맞는 미지수들을 각각 구하면, 특수해 y_p를 구할 수 있게 돼.

-y의 최종 형태는 일반해와 특수해를 합한 거야. 함숫값과 도함숫값이 주어졌으니 y의 제대로 된 식을 구할 수 있겠지.

-오호, 할만하겠네.

-일반해는 중근으로 인해 금방 나오는데, 특수해는.. 어디 보자, r이 저 꼬라지인데.. 잠만. 일반해에도 e^-2x가 있는데..? 특수해를 뭘로 잡아야 하는 거지...??

-하... 괜히 직접 풀겠다고 나섰네

-일반해에 r의 형태가 포함돼있고 거기에 다항함수까지 곱해진 상황이라면 특수해는 r의 형태에서 특별한 변형이 일어난 걸 필요로 해. 저런 상황에선 일반해에 e^-2x와 xe^-2x가 둘 다 포함되어있으니 특수해의 형태는 그 항들을 제외한 x²e^-2x만으로 잡아야 해. 풀이를 보면, 특수해의 식은 어렵지 않게 구할 수 있어.

-이제 y의 틀을 잡고, 초기 조건을 통해서 다시 다듬으면 완성!

-일반해는 매우 쉽게 구할 수 있고, 특수해는 음.. r이 xsinx꼴이고 r이 sinx일 땐 y_p가 Mcosx+Nsinx꼴이어야 한다고 했으니 y_p는 저런 식으로 나타나겠네. (s는 sin의 s와 혼동할 수 있어서 t로 대체)

-이제 y_p를 미분하면서 적절한 미지수들의 값들을 찾아야 하는데... 저걸 일일이 다 미분하라고...?

-그래, 미분해왔다. 이 식들을 미분방정식에 때려넣고 미지수들을 찾으면 특수해까지 구할 수 있어.

-따라서 y는 일반해와 특수해를 합한 형태이니 저런 식으로 나와. 좀 무섭게 생겼네..

-후... 풀어볼까.

-일반해는 할 말 없고.

-특수해는 일반해와 r에 e^2x가 이미 포함돼있으니 저런 식으로 잡고 미분하면서 미지수를 찾아가야겠네. 풀이를 보면 특수해가 저렇게 나온다는 걸 알 수 있고.

-초기 조건이 주어져 있으니 다시 계산해보면 y의 마지막 형태가 나오게 되네.

-짜잔, 이것이 바로 Wronskian 행렬식이다.

-뭐야, 생각보다 단순하네?

-그치, 외우기도 간편하고.

-예시로 y₁, y₂가 저런 형식이라면 W=w임을 쉽게 확인할 수 있지?

-미분방정식 y''+py'+qy=0의 해 중 두 개를 각각 y₁, y₂라고 하면, y''+py'+qy=r의 일반해 y_h, 특수해 y_p는 저렇게 나타낼 수가 있겠지. a, b는 상수, u, v는 x에 대한 함수고.

-그렇다면 저런 식이 성립하게 되겠지.

-이제 y_p를 이용하여 미분방정식에 대입하고 정리하면 최종적으로 맨 아래와 같은 미완성 식이 나타나게 돼. 정리하면서 항들이 너무 많아서 죽을 뻔했다.

-이 식. 이 식을 만족한다고 둘 거다.

-그 식을 통해서 다시 정리하면 저렇게 또 다른 간단한 식이 나오게 돼.

-.....간...단...??

-그러면 이제 저 두 가지 식들을 연립해서 정보들을 긁어모아야 해. 관심없는 u'와 v'가 두 식에 공통적으로 존재하니 각각 u', v'에 대해서 식들을 정리하자.

-먼저 u'에 대해 정리해보자. 이때 Wronskian 행렬식 W의 식이 튀어나왔네? 이래서 그 행렬식을 다룬 거야. 그러면 v의 식이 저렇게 나와.

-v'에 관해 정리할 떄도 똑같은 방법을 통해서 u의 식까지 구할 수 있어!

-그러면 결국 특수해 y_p는 저런 형태임을 알 수 있어. 외우기가 좀 번거롭지만 어쩔 수 없지..

-아차, 이때 u, v에 나오는 적분식에서 적분상수는 고려할 필요가 없어! 결국 일반해에 나오는 항들이 튀어나오기 때문에 적분상수까지 고려하는 건 불편하다 이 말이야.

-일반해를 구하는 과정은 똑같아. 근데 여기서 y₁, y₂를 정해야 하는 거 명심해.

-이제 W를 구하고 특수해 y_p의 공식을 사용하면 저런 식이 나오게 돼. 이때 적분상수는 무시한다는 거 잊지 마.

-그러면 y의 최종 식은 다음과 같이 나오게 되지..

-먼저 일반해는 저렇게 간단하게 구할 수 있고..

-일반해에서 y₁, y₂를 구한 후, W도 구하고, r도 확인하고.. 이때 r은 미분방정식의 우변임을 확인하고...

-특수해는 공식을 통해서 계산하여 구할 수 있는데, 그 과정이 생각보다 길고 피곤하고 복잡하고 싫증나니까 알아서 보시고!

-일반해와 특수해까지 구했으니 그 둘을 합한 것이 바로 y의 식이다!

-일반해 구하고!!!

-일반해로 하여금 y₁, y₂를 구하고, W도 구하고, 그 다음으로는!?

-미분방정식의 우변을 통해서 r까지 구해내고....!!

-틀렸어 ㅅㄲ야!!! 집 가고 싶다고 대강 설명할 때부터 알아봤다

-엥..??! 왜!!?

-y''의 계수가 1일 때 r을 구해야지!!!!

-앗...

(쿠르르르르....)

-이게 무슨 소리ㅇ... 뭣

-너무 멍청한 짓을 했네..;; y''의 계수를 먼저 1로 맞추고 계산했어야 했는데...

-특수해 공식을 통해 저런 형태임을 알아냈고.

-마지막으로 일반해와 특수해를 합하면 끝!!