9月 기하 28, 29, 30 Solution

9월 4일에 시행된 25학년도 9월 모의평가 수학의 난이도는 작년 수능, 올해 6월에 비해 낮은 편으로, 문항을 해결하기 위한 풀이경로와 정답이 되는 상황은 쉽게 상상이 가능하지만 미지수가 많은 계산(21번), 하나라도 놓치면 틀리는 꼼꼼함을 요구하는 문항 (20번, 22번) 등에서 끈기와 집중력을 요구했던 시험지었습니다. + 15번 문항의 경우 24.09.22처럼 부분적분 아이디어가 들어간 거의 동일한 문항이었습니다.

다만, 기하 문항은 공통 영역에 비해 까다로운 편으로 28번의 경우 주어진 기하 세팅의 특수함을 정확히 인지한 채로 접근해야 했고, 30번의 경우 주어진 결론부가 불편한 벡터들의 합으로 정의되어있어 기준 잡고 평행이동을 잘 수행해야 했던 까다로운 문항이었습니다. 다만 발상적인 풀이를 요구하지 않기에 공통 영역에서 시간을 확보하셨다면 충분히 해결하실 수 있는 문항들이었습니다.

28. #구와 구의 교선은 원 #보장된 수직, 보장된 길이

1. P,Q가 이루는 곡선 상상하기 -> OB를 지름으로 하는 구와 구S의 교선은 O2를 중심으로 하고 구 S위의 zx평편과 평행한 원이 되며, OA를 지름으로 하는 구와 구S의 교선은 O1을 중심으로 하고 구 S위의 yz평면과 평행한 원이 됩니다.

2. 주어진 길이 이용하기 -> OQ=R=10, OB=10루트2에서 1:1:루트2 , 각 OQB=90에서 삼각형 OQB는 직각이등변 삼각형이 됩니다. -> O2=(0,5루트2,0)을 얻습니다. 

3. 주어진 기하관계의 특수함에 주목하기-> 원 C1과 C2는 수직이므로 이들이 만나 생기는 두 점은 원의 중심을 베이스로 만들어진 직사각형 위에서 만남을 알 수 있고, 이를 그림으로 나타낼 수 있습니다.

4. 코사인 값 이용하기->코사인법칙으로 N1N2의 길이를 구하고, 다시 피타고라스를 이용해 OH( H는 N1 N2의 중점 )의 길이를 얻습니다. (혹은 코사인 덧셈정리를 이용하여 코사인 세타/2=2/루트5를 얻어도 괜찮습니다.)

5. 직각삼각형에서 피타고라스를 이용하며 구하는 값 도출하기. O2N1H에서 피타고라스를 통해 O2H=OO1=루트30을, OO1N1에서 피타고라스를 통해 ON1=rC1=O1P=루트 70을 얻을 수 있고, 결론부 삼각형 APO에서 닮음을 이용해  OA의 길이를 구하고 a의 값을 구합니다.

29. #이차곡선의 정의요소 #삼각비 

30. #벡터는 평행이동이 자유로움 #벡터가 이루는 도형 #벡터 분해

#29

1. 포물선의 정의요소를 연상합니다. -> PF를 긋고 PF=PH를 얻습니다.

2. 주어진 길이관계 이용하기 -> PH=PF=3l、FH=2루트2l로 세팅합니다.

3. 삼각비를 두가지 방법으로 표현하기-> 직선 HP는 x축에 평행하므로, 각 세타(각PHF)를 각 HFO로 이동시킬 수 있고 삼각형 PHF, HFO에서 코사인 세타를 표현한 값이 동일하다는 식에서 l=3을 얻습니다.

4. 이차곡선의 정의요소(쌍곡선)를 연상합니다 -> P(9,2루트14)에서 PF'=15, PF'-PF=6=2a에서 a=3을 얻습니다.

4. 쌍곡선의 초점과 정의요소 식 이용하기-> c^2=16=a^2+b^2에서 b^2=7을 얻습니다.

#30

1. 벡터의 종점이 이루는 자취를 도형으로 간주하기-> OQ벡터에서 평행이동 부분 OD를 분리하면 직각삼각형 부분만 예쁘게 분리할 수 있음을 인지합니다.

2. 기준 잡고 벡터식 조작하기-> 원점 O에 대해, PQ+OE벡터를 OY라 정의하고 벡터식을 조작하겠습니다. 이때, OQ=OD+DQ로 분리함이 깔끔함을 이용하며, 도형의 합으로 인식하기 위해 뻴셈 연산보다는 역벡터를 이용한 덧셈 연산이 유리함을 인지합니다.

PQ+OE=OQ-OP+OE=(OD+DQ)-OP+OE=OD+DQ+OP'+OE [단, OP'은 OP의 역벡터]

4. 비교적 단순한 평행이동 부분과 도형을 분리합니다 -> OD+OE=OX=(3,2)로 연산할 수 있고, 결론부 OY=OX+OP'+DQ로 순차적으로 합벡터를 구해봅니다 -> (1)~(3)과정을 따라가 OY의 자취를 구해봅니다.

5. Ymin, Ymax를 찾아 m과 M을 구합니다.

총평으로 기하에서 묵직함을 준 문항은 30번으로, 개인적으로 9월 시험지에서 가장 까다롭다고 느낀 문항이었습니다. 현장에서 불편하게 정의된 벡터의 연산을 적절히 평행이동, 분해함으로 이루는 자취를 그려내야 하기에 상당한 꼼꼼함을 요구한 문항이었습니다.

벡터의 연산만으로 변별력을 확보한 문항인 23.06.30이 생각나는 문항이었습니다.

28번의 경우 공간좌표와 구의 방정식 단원을 베이스로 하지만, 이는 기하 상황의 특수함을 더하기 위한 장치로 근본은 공간도형 실력을 묻고 있는 우수한 문항이었습니다.

오늘 하루도 모두들 수고하셨습니다 :) 

긴 글 읽어주셔서 정말 감사드려요!