다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://app.orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
웅웅
-
“성욕 관리” 이거 ㄹㅇ 중요함 성욕 제때 못풀어주면 공부할 때 잡생각나서 집중...
-
나 근데 3
사람 자체가 바른 사람은 아닌것 같음 과외생 -> 고객, atm 아니었누......
-
여러분 돼지고기랑 무랑 요리할 때 주의해야할 점 처음 앎 ㄷㄷㄷ 16
무랑 돼지고기랑 요리할 때 무를 얇게 썰면 안 됨... 처음 알았는데.....
-
불문학이건 불언매건 물문학이건 상관없지만 독서만은 무조건 물이여야한다고 생각해요...
-
가서 그냥 2시간동안 노래나 부르고 싶다
-
저는 버러지라니간요...
-
무우우물 23
-
-
반성을 두 번하면 12
완성ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 깔깔깔
-
무엇이든 물어보십쇼 19
다 답해드립니다
-
어디 안 좋은 건 아니고 그냥 궁금해서 . . . 건강하면 걍 안하는 게 나을랑가
-
10명 이미지만 써드리고 홀연히 사라진 후 입시철에 다시 올게요
-
-
-
이마스구 키미니 아이니 유코우
-
제발 나 큰거 안바란다 수학 딱 1만 뜨고 탐구 2등급 3등급 아니면 1등급...
-
2026학년도 대비 연세대학교 인문논술 모의고사 배포 3
심심해서 처음 시도해보는 인문논술 자작문제입니다. 풀어보고 개선할 부분이 있다...
-
잠 오는데 1
뭐로 버티지
-
과외 문의올때 2
분명히 고2 고3 or 수능 과정 다끝낸 고1 학생만 가르친다 했는데 내신문의,...
-
임신했나 7
멀 기대한건지 말하셈
-
6모 제외하면 안정 1이었는데 요즘 좀 폼 많이 떨어짐
-
투표
-
댓글을 써도 다른 사람 입장에선 알림만 뜨고 안보임...
-
수능 2주도 안남은 지금이시점 봐야할 국어 선별작품 1
출처:...
-
ㅈㄱㄴ
-
모고 평균 62446인데 내년에는 얼마나 발전이 가능할까? 그냥 공부를 접을까요?...
-
무물메타 참전 7
저도 관심 주세어 빨리 질문 ㄱㄱ
-
대통령님 전공연계로 비문학 사회 제재 법 내자 경제나오면 안돼ㅠㅠ 진심 토나오고...
-
신상이나 선씨넘 아니면 아무거나 다 받습니다
-
선생님 힘내세요 3
올해 입시 잘 하시고 내년부터 행복하게 지내셨으면 좋겠네요,, 파이팅 하세요 선생님,,
-
6모 국어 아직 아껴둠 ㅋㅋ
-
음 그래그래 0
형은 김승리가 왜 오답률 탑2인지 모르겠다던 4번을 틀렸어
-
-
건조기는 정말 혁명이야 14
이렇게 뽀송뽀송하다니 흐으으으으으으응
-
물지 vs 물생 2
고2고 생명 내신O 지구 노베 라고 했을때
-
저도 무물 27
적당히 선넘질은 ㄱㄴ!! 여자이고 수능 올해 안 보는 08입돠
-
10더프 확통 2
72점 나왔는데 수능이엿으면 3임 2임? 더프 수학 확통
-
아니 왜 점점 실모 점수가 떨어지는거죠..? 더프도 걍 매월마더 커리어로우인데…...
-
논술 시행 날짜 1
과기대 논술이 18일 월요일이던데 19일에 할 수도 있다?라는 식으로 말을...
-
난 22가 더 어렵다고생각 국어
-
몰라농도ㅋㅋㅋ 몰랄리티(molarity)
-
아웃소싱이라 생각했어 수특 연계잖아...
-
-
개념에서는 p-p반응이 중심부 온도 1000만 k 이상일때 수소 핵융합 반응을...
-
해령 이동속력 확장속력 판의 이동속력 계산하는거 진지하게 나올 수 있나요?? 옛날...
-
진짜 못 봤을 대비 ,,
-
팔로워 350 돌파 11
-
맞팔하실분 8
네
-
논리실증주의자는 예측이 맞을 경우에, 포퍼는 예측이 틀리지 않는 한, 8
논리싫증주의자는 관심이 없다
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다