Chern-Simons invariant in hyperbolic 3-manifold
게시글 주소: https://app.orbi.kr/00068864906
Definition (Chern-Simons 3-form). Let $\pi:P\to M$ be a smooth principal $G$-bundle. Suppose we are given an $\mathrm{Ad}$-invariant symmetric bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{g}\times\mathcal{g}\to\Bbb C$. (i.e. $\langle\mathrm{Ad}_ga,\mathrm{Ad}_gb\rangle = \langle a,b\rangle$) The Chern-Simons 3-form $\alpha$ of a connection $\omega\in\Omega^1(P,\mathcal{g})$ is
$$\alpha(\omega) = \langle\omega\wedge\Omega\rangle - {1\over 6}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle = \langle\omega\wedge d\omega\rangle +{1\over 3}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle\in\Omega^3(P,\Bbb C).$$
In particular, if $M$ is a compact oriented smooth 3-manifold with or without boundary, and if there exists a smooth section $\sigma:M\to P$, the Chern-Simons invariant is
$$\mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma) = \int_M\sigma^*\alpha(\omega)\in\Bbb C.$$
물론 여기서 Chern-Simons 3-form의 각각의 항에 대한 설명이 필요하다. 보통 $\mathcal{g}$-valued form의 wedge product는 다음과 같이 정의한다: 만약 $\alpha = \alpha^iE_i$, $\beta = \beta^jE_j$, 여기서 $E_i$는 $\mathcal{g}$의 basis를 뜻한다. 그러면 각각의 $\alpha^i$와 $\beta^j$는 differential form들이고, 따라서 wedge product가 이미 정의가 되어 있다. 따라서,
$$[\alpha\wedge\beta] = \alpha^i\wedge\beta^j [E_i,E_j]$$
로 정의를 한다. 다시 말해서, coefficient들의 wedge sum을 하고 basis들의 Lie bracket을 이용해서 정의한다.
따라서, Chern-Simons 3-form에서 각 항들은 wedge product의 coefficient들에 주어진 bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$을 적용해서 정의하는 것이다.
만약 $G$가 Lie group이라고 한다면, $\langle\cdot,\cdot\rangle$은 $\Bbb R$-valued로 보통 다음을 사용한다:
$$\langle a,b\rangle = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(ab).$$
예를 들어, oriented Riemannian manifold $M$이 있을 때, frame bundle $FM\to M$을 항상 associate할 수 있는데, 만약 $\nabla$가 Levi-Civita connection이라고 한다면, Chern-Simons 3-form of $\Delta$는
$$\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\omega\wedge\Omega - {1\over 3}\omega\wedge\omega\wedge\omega) \in\Omega^3(FM,\Bbb R)$$
가 된다. 참고로 위의 $\mathcal{g}$-valued form으로의 대응은 다음의 대응 관계로 다시 볼 수 있다:
$$\{\text{metric connection }\nabla\text{ on }TM\to M\}\leftrightarrow\{\text{principal }SO(n)-\text{connections }\omega\text{ on }FM\to M\}$$
* 참고로 Principal $G$-bundle에서의 connection 1-form은 원래 connection 1-form과 좀 다르게 정의하는데, 원래 connection 1-form은 local하게 밖에 정의가 되지 않는데, principal bundle의 경우에는 global하게 정의할 수 있다.
$\omega\in\Omega^1(P,g)$가 connection 1-form이라는 것은, (1) $\omega_p(\underline{X}_p) = X$ for any $X\in\mathcal{g}$ and $p\in P$, (2) $r_g^*\omega = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega$ 인 경우를 말한다. 여기서 $\underline{X}_p$는 소위 fundamental vector field라고 불리는 것인데,
$$\underline{X}_p = d/dt|_{t = 0} p\cdot e^{tX}\in T_pP$$
로 정의한다.
$\omega_p$는 canonical 한 choice가 있는데, 만약 $v:T_pP = V_p\oplus H_p\to V_p$가 vertical component로의 projection이라고 한다면, $V_p$는 $\mathcal{g}$와 $G\to P, g\mapsto p\cdot g$의 tangent map에 의해서 identify할 수 있고, 따라서 $\omega_p = v:T_pP\to\mathcal{g}$로 정의할 수 있다.
참고로 이러한 connection 1-form이 principal bundle에 정해져 있으면, 1-form의 kernel로 horizontal distribution을 잘 정의할 수 있다.
왜 이런식으로 Chern-Simons 3-form을 정의했는지 의문이 될 수 있는데, 한 가지 계산을 통해서 알 수 있는 것은
$d\alpha(\omega) = \langle\Omega\wedge\Omega\rangle$이 된다는 것. $\nabla$에 대해서는
$d\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)$가 된다. $[\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)]\in H^{4}(M)$가 Pontryagin class인 것을 상기해보면, Levi-Civita connection의 Chern-Simons 3-form은 Pontryagin class의 potential로 정의된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 홀수 $p=2n-1$에 대해서 Chern-Simons $p$-form은 $[\mathrm{tr}(\Omega)^{2n}]\in H^{4n}(M)$의 potential, 다시 말해서 $d\alpha_{2n-1} = c_n\mathrm{tr}(\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega)$인 $p$-form on $M$을 말한다. 여기서 $c_n$은 그냥 아무 constant나 잡아도 된다.
정의를 보면, Chern-Simons invariant는 global section에 depend가 된다. 우리는 적절히 mod를 해서 Chern-Simons invariant를 global section에 depend하지 않도록 하고 싶다. 이걸 위해서는 global section에 얼마나 CS-invariant가 변하는지 알아야 한다.
이러한 dependence를 반영하는 공식이 있는데, $\varphi:P\to P$를 smooth fiber bundle isomorphism이라고 하고 $g_{\varphi}:P\to G$를 $\varphi(p) = p\cdot g_{\varphi}(p)$로 정의하자. (앞에 나온 $p$에서의 fiber와 $G$와 identify를 하는 map이다.)
Proposition. Let $\varphi:P\to P$ be a bundle isomorphism. Let $g = g_{\varphi}\circ\sigma$.
$$\varphi^*\alpha(\omega) = \alpha(\omega) + d\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}_{\varphi}}\omega\wedge g^*_{\varphi}\mu\rangle - {1\over 6}g^*_{\varphi}\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
In particular,
$$\mathrm{CS}_G(M,\varphi^*\omega,\sigma) = \mathrm{CS}_{G}(M,\omega,\varphi\circ\sigma) = \mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma)+\int_{\partial M}\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega\wedge g^*\mu\rangle - {1\over 6}\int_M g^*\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
$G = SO(3)$인 경우에는, 가장 마지막 term은 $2\Bbb Z$라는 것이 알려져 있다. 따라서, $\bmod{\Bbb Z}$에서는 $\mathrm{CS}_{SO(3)}(M)$은 $\Bbb R/2\Bbb Z$에서 잘 정의 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
근데 진짜 뭔 지랄을 해도 수학실모 90점 못넘기겟음 0
킬캠 1회 22252630틀 86 킬캠6회 222729틀 89 90점어케넘음;;;...
-
진짜 딱 뮤지컬만 보고 헤어지기... 쉽지않아요
-
확통이임 히카 시즌12 킬캠시즌1 jmt시즌12 양승진시즌1 이렇게풀엇어요 강대,...
-
잠복결핵 치료 1
나 8월 28일에 병무청에서 잠복결핵 양성판정받았는데 보건소가서 약 먹으면 최소...
-
중대뱃지달고 4
프사 저걸로 하면 학교를 욕먹이는거겠죠..? 정신차려야징
-
2만원대 교재 싹다 6만원이 넘어감 ㅋㅋㅋ 절판된지 얼마되지도 않음
-
칼이랑 도마 사와서 수박, 메론 깎아먹고, 음료수 5종 사와서 심심할때마다...
-
랑데뷰 모의고사 0
궁금한게 랑데뷰 쉬사준킬이랑 킬러극킬 풀면서 훈련돠고 좋아서 모의고사 살까 하는데...
-
학원은 공식적사회화기관인가요? 어떤분은 지식 또는 기능을 교육을 하니까 공식적...
-
이거듣고 바로 고양이로 넘어가도 괜찮을까요?
-
장클에서 이야기 하던데….왜..지…..
-
으 보수적인 집안 싫다
-
슬——림하세요 그냥 뼈가 두껍지 않은 느낌
-
지금 시기상 한랭+세차운동 원일점 여름 —>올해 겪은 여름이 앞으로 겪을 여름중 젤...
-
비추일까요? 지금 가는 곳이 거리도 문젠데 환경이 너무 스트레스여서…
-
제사도 싫은데 … 차타고 어디 가는거도 싫은데 … 친척들이랑 근황토크도 싫은데 …
-
(평가원 포함) Ebs 문제들 진짜 독창적인 문제 많네... 이런게 신유형이지......
-
[국어] : 박광일T 구주연마 [1주차 9강] -문학의 난이도와 실전에서의 시간...
-
이두나는 한양대인것처럼 동아리 모티브 학교는 어딜까 한강대니까 한양대인가
-
미도코로난다카라사 아아
-
지금 유자분 들으면서 백지 복습하면서 개념 복습도 병행하는 중인데 파이널 강의만 들어도 괜찮을까요?
-
협박당했어요.ㅜㅠㅠㅠㅠ
-
뭔가 걱정되네.. 올해 개념도 한번 안 돌려서.. 한게 모고풀때 한거밖에 없음
-
인하대 항공우주공학과 한국항공대 항공우주공학과 이 두 학교가 목표인데 몇등급 맞아야...
-
좋은대학가면 이런동기 있겠지...
-
긴 꿈 1
-
해양판확장계산, 방사성동위원소, 천체같은 킬러소재 모여있는 엔제 뭐있나요?? 데일리...
-
거짓말안하고 이렇게 발광하는달 첨봄 ㅈㄴ이뻐서 계속쳐다보게되네
-
명절선물 받음 10
원장쌤이 주심 오
-
쪽지 주세요. 2
-
진짜 탄저 뿌리는 건 아니겠지
-
의논이랑 연논 등식 증명문제 왤캐 벽느껴지지 ㅋㅋㅋ 0
너무 발상적이다 ㅋㅋㅋ 수능일등급 찌끄레기는 생각을 못하겠슴... 물론 의논연논쓰진않음 ..ㅋㅋ
-
하 소비 참는다 0
곧 겨울 옷 나올테니 조금만 참자..
-
그냥 영어계 전공서나 영어 원문 서적이 시험에 나올 때가 좋았던 것 같음
-
만나서뭐하지
-
하 나 게이아닌데
-
삼수생이라 김기현 기출생각집으로 기출 1회독(오답으로 2회독함)하고 바로 4규s1...
-
경쟁률 진짜 반토막 났네 내가 쓴곳도 새로 생긴곳이라 경쟁률 8대1됨 ㅋㅋ 교과나...
-
쪽지주세요 5
쪽지 선착순 1명 천덕
-
실모 평가원 다 2-3왔다갔다 하는 확통입니다 1-11 16-19 23-27 40분...
-
생명과학 준킬러 시간 확 줄일 수 있는 N제 추천좀용 0
지금 백호 바이오 커리까지 다 듣고 18모고까지 다 돌렸는데 시간이 너무 걸려요...
-
40회분이라 되게 저렴하던데 6,9모랑 비교했을 때 난이도랑 퀄리티가 괜찮을까요?...
-
사설문제들 다 끌어다 쓰는데 돈받고팔면 저작권침해아님...?
-
나 원래 배달음식 한 달에 한 번 시킬까 말까 하는데 저저번주 즈음부터 이틀에 한...
-
사실 끝낸건 없고 나름 열심히 현재진행중
-
제가 듣는 수업이 이건데 시간대가 괜찮다고 생각해서 선택했어요그런데 이 커리가 좀...
-
논술 4개이상 쓸거임 내신 3점초반대 쓸거면 교과로 쓸건데 목표 건대숙대 이상이여서...
-
수학황분들 17
이런 것도 술술 푸시는 건가요??
야해오