수학2 자작문제

나 조건이 굳이 있어야 함요?

없으면 안되지않나용??

속도는 일반적으로 연속아니예요?
10m/s로 가다가 얘가 갑자기 20m/s로 바뀔리는 없으니까....

그래서 23수능 20번에도 연속이란 말 없었던 걸로 알아요..!

오오오 그렇군요!!

근데 문제는 딱 23수능 12번 느낌이라 괜찮아 보여요!! 한 12-13번이면 적당할 듯한

사실 12번이랑 이번 수특을 섞었어요!
감사합니당

나조건 필요합니다:)

속도, 가속도 모두 불연속일 수 있습니다. 말씀해주신 문제도 제기 생각하는 문제가 맞다면, 나조건에 등호가 있어서 연속성을 보장해준것입니다. 속도 함수 자체는 불연속함수일 수 있습니다.

수능 기출에는 그런조건 안주고 그냥 연속인걸 당연하다는듯 내던데요

평가원에서도 속도 함수가 미분불가능한
(즉 가속도가 불연속) 경우를
출제한 적이 있습니다.
060606(가)

연속인 경우만 출제하지 않습니다.

엥 등호가 없어도 연속성은 보장되는데요.. 멍뭉이님 말대로 평가원에선 연속인 걸 전제하듯 내고
사실 전제하는 것도 당연하게 속도는 위치함수를 미분한 도함수이므로 속도 함수는 연속일 수밖에 없게 냅니다..
고등학교 과정에선 리만적분(연속함수여야 적분가능)만 다루기에 속도함수가 불연속이라면 위치함수 적분이 불가하기에 무조건 연속이라는 거죠

연속성이 보장된다는 말씀은 혹시 근거가 어디이실까요..?
교과서에 속도와 가속도가 연속이라는 교과내용은 없고,
위에 말씀드렸듯 속도 함수가 미분불가능한 경우는
평가원에서 이미 출제된 바가 있습니다.

수험생이 속도 함수의 연속성과 미분가능성에 대하여
안전하게 문제를 풀 수 있도록
언급하신 기출 문제에서는 등호를 달아준 것이지,
등호가 없다면 등호가 성립한다고 놓고 풀면 안됩니다.

06학년도 6월 평가원 가형 6번 같은 경우에 문제에서 직접적으로 v(t)는 t=2를 제외한 개구간에서 미분가능하다고 언급 되었고 이때도 속도 그래프는 연속이었습니다. 또한 그 문제는 v(t)를 미분하여 가속도의 개형을 찾는 문제였고 위의 문제는 역과정인 적분에 대하여 묻습니다.
교과서에서 II. 미분 파트에서는 위치를 미분한 속도, 속도를 미분한 가속도를 다루지만 III. 속도와 거리에서는 가속도에 대해서 다루지 않습니다.
그리고 III. 첫 소단원인 부정적분 파트에서 피적분함수를 연속함수라고 시작하고 서술하기에 당연하게도 속도 파트에서도 속력은 연속임을 전제하고 교과서 기술을 한 것이고 속도가 미분가능한지는 중요하지 않습니다.
이 문제에선 가속도에 대한 내용도 없으므로 그렇게 복잡하게 생각지 않아도 되고 23 수능 20번도 가속도를 피적분함수로 놓는다는 것은 가속도함수가 연속임을 전제하는 것과 같습니다. (고등 교육과정 상)

https://cafe.naver.com/pnmath/3110994 탕진량문님 게시글
https://cafe.naver.com/pnmath/3114090 논리화학님 댓글

먼저 댓글 작성하기 전 이 두 글 참고해보시면 좋을 듯 합니다.

우선 존재성에 관해서는 이야기가 끝난 것 같습니다.
속도가 불연속인 점의 움직임도 존재하고,
가속도가 불연속인 점의 움직임도 존재합니다.
(속도가 10m/s이다가 갑자기 20m/s일 수 있습니다, 예시로 당구공의 움직임 또는 벽에 충돌하는 자동차 등이 있습니다.)
따라서 조건 (나) 역시 주어져야 합니다.

+말씀드린 기출에서 '이때도 속도 함수는 연속이었다.'고 말씀주셔서 덧붙입니다.
수학2 교학사 교과서에서도 첨점을 가지는 위치 함수 그래프를 그림으로 준 문제가 실려 있습니다. 즉, 속도 함수 역시 불연속일 수 있습니다.

따라서 231120에서도 가속도 함수가 연속임을 전제로 출제하였다는 것에는 반대 의견입니다. 등호를 주었기에 a(2)의 값이 존재하고 v'(2)의 값이 존재하므로 v는 t=2에서 미분가능하다, 즉 연속이다라는 추론이 가능합니다.

등호가 없었으면 문제 오류라는 의견입니다.

+속도와 거리 단원에서 가속도를 다루지 않는 이유는 단원명 자체에서 알 수 있듯 '속도'와 '거리'의 관계를 학습하기 때문이며, 앞의 속도와 가속도 단원에서 학습한 위치, 속도, 가속도의 관계에서 자연스레 부정적분 관계도 추론할 수 있는 것은 자연스럽다고 생각합니다.

아니,, 제 댓 안 읽으시나요
1. 교과서 부정적분 처음 설명할 때 피적분함수는 연속함수임을 전제 → 그 후 속도 적분 단원에 속도는 피적분함수 따라서 속도는 연속함수
심지어 수2는 다항함수만 다루므로 일반적으로 성립하고 설령 초월함수여도 다를 건 없음

2. 가속도 불연속 → 속도함수 첨점 O (연속) → 적분 가능 (단, 가속도 함수가 발산 불연속일 순 없으니까 제외)

3. 수학 속도 가속도는 물리랑 같은 베이스임
애초에 문제에서 매번 점 P의 '시각 t'에서의 속도와 가속도인데 시간에 대해 실제 세계에선 항상 미분가능함요
그럼 무슨 순간이동이라도 하는 것인가요?
+ 물리1 운동량 충격량 때에는 두 물체 간의 충돌시에 운동량 보존을 위한 것 때문에 시간의 효과를 무시해야 계산과 상황의 편의를 위해 속도를 불연속으로 제시하는 거지 엄밀하게 따지자면 그 속도 그래프 또한 미세하게 확장시키면 연속으로 이어져야 합니다.

4. 23학년도 20번 해설도 저 부분도 틀린 해설은 아니예요. 하지만 평가원은 님들 같은 이의제기때문에 배려차원에서 등호를 넣어준거지 없다고 해서 문제 오류는 아닙니다. 애초에 문제에서 거리를 묻는데 거리는 속력을 적분한 거 아닙니까?? 그럼 당연히 속력은 연속함수이어야지요.

그리고 방금 교학사 수학2 교과서 펼쳐보고 왔는데 어떤 문제에서도 v(t)의 그래프가 불연속인 문제는 없는데요

수2 교학사 교과서입니다.

교과서의 서술은 학생 수준에서 이해가 쉽도록 서술이 되어있기 때문에
교사용 지도서에서도 이렇게 깊은 부분과 관련된 언급은 없습니다.
하지만 그렇다고 231120에서 등호가 없어도 되었다든가, 이 문제에서 조건 (나)가 없어도 된다는 것은 아닙니다.

'수학2에서 원함수가 미분가능하면 도함수는 연속인 걸 이용하자.'라는 생각은 문제 푸는 입장에서 할 수 있는 생각이지, 평가원 입장에서 이것을 이용하게 해서는 안됩니다.

그렇기 때문에 평가원 문제에서도 f(x)의 도함수 f'(x)에 대한 조건이 제시되면 이를 그냥 언급하지 않고 '미분가능한 함수 f(x)'라고 제시하고

f(x)에 대한 정적분에 대한 조건이 제시되면 '연속인 f(x)'라고 제시합니다.

단순 배려가 아닌 문제 오류이기 때문에 등호가 들어간 것입니다. 이런 시비를 없애기 위해 등호를 넣었다는 것은 맞지만, 등호가 없으면 교과 내에서는 오류입니다.

문제가 교과 내용 내에서 풀이가 가능하도록 조건을 제시해야 한다는 것이 핵심입니다. '적분이 가능하려면 연속함수여야해, 그러니 연속이어야겠지?'라는 생각으로 문제를 푸는 것이 엄연히 교과 내의 풀이는 아니라는 것입니다.

교과 외에서는 불연속 함수를 적분할 수 있지만, 교과 내로 문제를 제작해야 하기에 애초에 연속이라는 조건이 주어졌을 것입니다. 물론 정석 해설과 실전 풀이의 간극은 어쩔 수 없는 부분이지만, 그렇기에 231120도 발문을 그렇게 주어져야 했던 문제입니다. 등호가 없었다면 오류입니다.

3번에 대해서는 위의 교학사 교과서 캡쳐본으로 대신 말씀드립니다.
또한 더 위에서 언급한 당구공, 자동차 예시가 도움이 될 듯합니다.

당구공 자동차 얘기도 현실 세계에선 연속적으로 변하는데 시간을 아주 미세하게 잡아서 불연속처럼 느끼는 거지 불연속인 것은 아닙니다. 교과서 설명은 잠시만 기다려주세요.

불연속처럼 느끼는 것이지 불연속인 것은 아니다라는 말씀을 하시는데, 어떤 말씀이신지 모르겠네요. 아래는 이와 관련해 도움이 되실 수 있는 gemini의 답변입니다.

충돌:

두 물체가 충돌하는 경우, 충돌 순간 양쪽 물체의 속도는 갑자기 변합니다. 이러한 갑작스러운 속도 변화는 속도 함수의 불연속성을 초래합니다.
예시:

당구공 충돌: 당구공이 다른 당구공에 충돌하는 경우, 충돌 직전에는 일정한 속도로 움직이는 두 당구공의 속도가 충돌 순간 갑자기 변합니다. 이는 속도 함수의 불연속성을 나타냅니다.
자동차 충돌: 자동차가 다른 자동차 또는 장애물과 충돌하는 경우, 충돌 순간 자동차의 속도는 갑자기 변합니다. 이는 속도 함수의 불연속성을 나타냅니다.

제 말의 핵심을 다시 정리해드리겠습니다.

'이렇게 줘도 속도 함수는 어차피 연속인 게 전제여서 조건 없어도 돼요.'
가 오류임을 지적드리는 중입니다.

속도 함수과 교과 내에서 일반적으로 연속인 것은 맞지만,
그것이 평가 요소가 되어서는 안됩니다.
속도 함수의 연속성을 학생이 생각하지 않게끔, 애초에 연속이도록 문제가 제시해주어야 한다는 것입니다.

231120도 등호 조건을 통해 연속임을 제시해준 것입니다.

별개로 속도 함수와 가속도 함수가 불연속인 움직임은 현실 세계에서 가능한 것으로 알고 있습니다.

1. 현실 세계에서 속도가 불연속인 경우는 존재하지 않는 걸로 압니다. 속도가 불연속적으로 변한단 소리는 그냥 워프나 다름 없는데 노벨상 받아야지요. 아래 사진처럼 극소적으로 확대하였을 때 저런 양상으로 변합니다. 즉 거시 세계에서 그렇게 보여도 실제로는 연속적으로 변한단 소리입니다.


2. 교학사에서 제시한 저 그래프는 이상적인 그래프이고 미분단원에서 다룹니다. 저 상태에선 속도가 불연속인 점은 인정하겠습니다.


3. 하지만 제가 주장하는 바는 미분단원이 아닌 적분 단원입니다. 심지어 미분 단원에서도 가속도는 속도의 도함수로 정의하고 있습니다. 이 말은 속도함수가 미분가능하단말과 동치, 즉 속도는 연속함수임을 전제하죠.
또한 적분에서는 몇 차례나 얘기했듯이 피적분함수는 연속이어야 적분가능합니다.
그런데 이게 평가 요소가 되면 안 된다는 건 무슨 헛소리인가요. 교육과정내에서 평가하는 것이 평가원의 지향인데 피적분함수가 연속함수이면 대상이되는 속도함수도 적어도 '적분' 단원에서는 연속함수이어야 합니다.

제가 말하고자 하는 바는 적분 문제 단원에서 구하는 것이 거리라면 속도는 당연히 연속함수임을 보장합니다. 그러니 23학년도 20번도 그와 마찬가지로 거리를 묻기에 속도는 연속함수임을 문제 발문에서 제시하고 있습니다.

1. 속도의 연속과 불연속에 대해서는 아는 분께 여쭈어 조금 알아보았습니다.
거시적으로 보았을 때 불연속처럼 보이는 물체의 움직임도
미시적으로 보았을 때는 기울기가 거의 무한으로 측정이 가능한 그런 느낌인 것 같습니다.
하지만 이 역시 관점의 차이라고 해석해야 하는 것 같습니다.

즉 관측하고자 하는 시간의 텀의 기준이 어떠냐에 따라서 달라지고,
제시한 060606(가) 문제에서는 가속도가 불연속인 경우가 출제되었던 것으로 보아
평가원에서는 그렇게까지 미시적인 해석까지 파고들고 싶은 것은 아닌 것 같습니다.
평가원에서 출제한 문제에서 속도가 불연속인 경우가 등장했으니 말이죠.

3. 조금 더 엄밀히 이야기하면 231120에서는
조건 (가)와 조건 (나)에서 등호가 모두 빠지면 조건 오류라고 생각합니다.
말씀하시는 내용이 참이기 위해서는,
교과서에서도 속도 함수와 가속도 함수가 연속인 것은
중요하게 다루어야 할 사안일 것입니다.
하지만 교과서에서는 그 연속성, 나아가 미분가능성에 대해서
엄밀히 다루고 있지 않습니다.

그 이유는 불연속인 경우에는 그것이 문제에서 묻는 것에 지장이 없게,
미분가능하지 않은 경우에는 그 여부가 묻는 것에 지장이 없게 제시할 뿐이고
웬만한 경우에는 연속인 경우나 미분가능한 경우로 제시하기 때문입니다.
즉 위치와 속도, 그리고 가속도 간의 관계를 해석할 수 있는지 평가하기 위함이지
교과 내에서 다루는 위치 함수, 속도 함수 그리고
가속도 함수가 연속이어야만 한다는 것을
학생이 알고 있는지 평가하는 것은 원하지 않아합니다.
그래서 문제가 없도록 제시해주는 것이죠.

'헛소리'라고 표현하셨는데 혹시 출제나 교육계 쪽에서
전공이시거나 현직에 계신 분이신지요.
평가 요소는 '속도와 가속도', 또는 '속도와 거리'의 관계를 이해하고 계산할 수 있느냐이지
적분가능하기 위한 조건과 속도 함수와 가속도 함수의 연속성에 관한 사전 지식이 아닙니다.

3. 학생이 문제를 보고 제시한 속도 함수가 연속임을 전제하고 문제에 풀 수 있도록 하는 것이 올바른 평가 요소는 아닙니다;

수학교육 쪽으로 얼마나 관심이 깊으시고 학부 수준에서 배우셨는지는 모르겠습니다만,
평가원이 지향하는 평가 요소였다면 교과서에 서술되어있었어야 합니다.
교육과정 내용요소로, 주요한 성취기준으로 포함되었어야 합니다.
적분 단원에서 출제되는 속도 함수와 가속도 함수는
모두 연속함수일 때만 다룬다는 것을요.

물론 우리는 알지요.
적분이 되려면 연속함수여야 한다는 것을요.
불연속이더라도 적분은 되겠지만 그것은 교육과정 내의 적분이 아니라는 것을요.
하지만 언제까지나 이런 부분까지 책임져야 하는 것이 문제의 발문입니다.

마치 님의 주장이 어떻게 느껴지냐면,
어떤 정적분 문제를 풀고 있고 조건에 의하여 케이스가 두 개로 쪼개지는데,
첫 번째 케이스는 f(x)가 적분 구간에서 연속이 되는 케이스고
두 번째 케이스는 f(x)가 적분 구간에서 불연속이 되는 케이스라고 합시다.
님의 주장은 학생이 스스로 '두 번째 케이스는 교과 내가 아니니
첫 번째 케이스만이 정답 상황이겠군.'을 파악해야 한다고 주장하고 계십니다.

저의 주장은 이 문제가 문제 오류라는 것이라는 것입니다.
교과 외의 가능성에서 생각하지 않도록 문제의 발문이 주어져야 합니다.
그래서 이 본문 역시 조건 (나)가 있어야 합니다.

거듭 말하듯 231120에서 등호를 (가)와 (나) 동시에 붙인 이유가 그 탓이며,
두 조건 모두에서 등호 조건이 없었을 경우에는 못 푸는 문제입니다.
추가 조건 없이는요.

'적분이 가능하려면 함수는 연속이어야 해.'는 평가원이 지향하는 평가 요소가 아닙니다.
'정적분의 값을 계산할 수 있는가'라는 평가 요소를 위해 문제를 출제하기 위해서는
함수가 연속이라고 제시하는 것이 평가원의 방향이어왔고 그래야만 합니다.
이 이야기와 님의 3번 주장은 핵심적인 중심부에서 궤가 다른 이야기입니다.

1. 06 가형 문제는 속도가 불연속이 아니라니까요??? 속도 그래프는 연속으로 제시가 되어있어요.

2. 수학, 교육 전공쪽 다녔었고요, 당연히 교과 내의 범주 속에서 문제 질문을 하기에 하는 말이고
부정적분에서 제일 중요하게 고등학교에서는 (몇 번이나 말하는지 모르겠는데) 피적분함수가 연속함수일때만 가능하다는 걸 강조하고 배운다니까요?? 당연히 문제 속에서 그 조건을 파악해내는 것도 평가원이 고려할 겁니다. 조건 속에 숨은 의미를 떠올려야죠. 그럼 님은 미분가능하다는 조건이 나왔을 때 연속 조건 떠올린다는 것조차 부정하는 것밖에 들리지 않네요.
미분가능하려면 연속이 우선되어야 합니다.
마찬가지로 적분가능하려면 피적분함수는 연속이어야 합니다. 도대체 이 둘의 차이가 뭐죠?
피적분함수가 연속인지에 관한 내용은 하나같이 무시하고 평가요소가 아니라고 하면서 구간별로 정의된 함수가 실수전체에서 미분가능하다고 말할땐 연속은 당연하게 포함시키시네요?
이게 지금 교과 위반이라고 생각하시고 계신 건가요? 정말로요? 제가 언제 그리고 부등호 모두 없애야 된다고 했죠? 나조건에서만 없어도 문제는 성립 가능하다가 저의 말이었습니다. 역으로 물읍시다. 미분가능하려면 연속이어야 해 이 말도 평가원의 지향 요소가 아닌데 3점 문제 혹은 킬러에서의 발문 조건 속에 고스란히 들어가 있는데요?

혹시 교과서 서술의 흐름을 모르시겠나요?
부정적분 배울 때 연속함수 f(x)에 대하여 성립한다고 말하고 그 이후 정적분 정적분의 활용으로 확장되어 갑니다. 이때에도 앞 내용에 근거하여 피적분함수는 연속임을 잊지 않아야 하고, 고등학교 과정에서의 적분가능성의 핵심입니다. (피적분함수는 연속이다.) 그러니 그 이후에 나오는 속도와 거리 파트에서도 피적분대상은 연속함수임이 자명하다고요. 그리고 교육과정 고시 보신 적 있으신가요? 수학II의 목표 중 일부 발췌하면
가. 자연 현상을 수학적으로 관찰, 조직, 표현하는 경험을 통하여 함수의 극한과 연속, 미분, 적분에 관련된 개념 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이해하고 수학의 기능을 흡수한다
나. 사회 및 자연현상을 수학적으로 이해하고 문제를 합리적이고 창의적으로 해결한다.
라고 명시되어 있습니다.
자연현상을 표현한다. 라는 말을 두 번이나 고시에서 강조하고 있습니다. 또한 자연현상에서 속도가 불연속일 수 없음을 아까 보여드렸습니다. 근데 속도가 불연속이 된다? 이건 자연현상을 표현한다에 위배되는 거죠.
학생이 이 문서를 볼 일이 없겠지만 가르치는 사람들과 평가원의 기준에선 철저하게 지키는 고시 내용입니다. 그래서 수능 문제에선 속도함수를 모두 연속으로 (암묵적으로) 제시하는 겁니다. 이 내용을 모르더라도 적분가능성을 공부했다면 피적분 대상은 연속임을 파악할 수 있고요.

ㅋㅋㄱㅋㄱㅋ과격해지는 토론은 지양했으면 합니다. 학부 졸업하신분한테서는 보기 힘든 표현들이 보이네요. 그런 표현도 좀 절제해주셨으면 하고요. 시간있을때 글 남기겠습니다. 하나 여쭙니다, 수학교육과 졸업이신지요? 수학, 교육 쪽이라는 표현은 모호해서요.

졸업했다고는 안 했고 다녔었다 라고만 하긴 했습니다. 그쪽 분야인 것만 말씀드리겠습니다. 표현이 살짝 과격해진 점은 불편하셨다면 사과드리겠습니다.

졸업은 아니신 걸로 알겠습니다. 06 가형 문제는 오탈자 수정하였습니다.

속도가 불연속일 수 없다... 는 것이
그것만이 '맞다'라고 주장하는 것은 위험한 주장입니다.
다시 말씀드리지만 관찰하고자 하는 시간의 단위에 따라 다른 것이며,
이는 060606으로 반박이 가능합니다.
가속도 역시 불연속일 수 없다고 생각하시겠지만
평가원에서는 그런 미시적인 관점에서의 해석에는 관심을 두지 않는다는 것입니다.
(가속도 불연속과 속도 불연속은 궤가 같습니다.)

제 말의 요지를 이해하지 못하시는 것 같아서 여쭤보고 싶은 부분이 있습니다.
지금 저는 '도함수 f'(x)는 불연속일 수 있다니까요?'를 주장하는 것이 아닙니다.
'속도 함수 v(t)가 연속인 것은 문제에서 제시해야 하는 것이다.' 입니다.

1. 231120에서 (가), (나)에서 등호가 없어져도 문제 오류가 아닌가요?
→ 위에 말씀드린 ㅍㅁㅎ 링크 참고

2. 발문에서 x(t), v(t). a(t)라는 표현이 등장하기만 했다면 모두 연속이라고 전제하고 풀어야 한다고 생각하시나요?

3. 지금 저와 의견이 충돌하는 부분을 문장으로 표현하면 무엇이라 생각하시나요?
특정한 한 문장 (혹은 그 이상도 괜찮)에 대하여 저와 의견이 핵심적으로 다른 것 같은 문장을 여쭙고 싶습니다.

그냥 물리적 관점으로 봤을 때 가속도는 힘과 같기에 당연히 불연속일 수 있지만 속도함수는 어떤 경우에도 연속이기 때문에 연속이라는 게 전제되어 있다는 거 아닐까요

가속도의 불연속도 결국에는 미시적 관점에서 연속이라고 주장할 수 있는 것 아닌가요..??

(이와 별개로 교과 내에서 속도와 가속도가 불연속인 경우는
평가원 출제 이력 내에서 존재한다라고 생각해야 할 것 같습니다.)

아뇨 이제 봤는데 가속도는 미시적이든 거시적이든 불연속일 수 있어요 가속도는 힘과 같은 느낌의 물리량인데 힘은 전혀 연속적일 필요가 없어요

23 수능 12번이 생각나네요

12번 요소를 넣었어용!

밖이라 대충 암산했는데 4번맞나요

앗 2번이에용!

아아 삼각형 넓이 1/2안했네요 ㅋㅋㅋ ㅜ

앗 ㅋㅋㅋ

정답!!

호훈 어딨어!