이차방정식과 이차함수
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이것은 다항식입니다.
몇차식인가요?
이 질문에 2차식이라 답했다면 아쉽습니다.
이것이 이차식입니다.
정확히는 x에 대한 이차식입니다.
글 내내 a가 0이 아니라 가정합시다.
한 쪽에 등호 붙이고 다른 쪽에 0 두면
이것은 x에 대한 이차방정식입니다.
인수분해 해보시면 두 근을 가짐을 확인할 수 있습니다.
근데 일반적으로 루트 안에는 음수가 위치할 수 없습니다.
따라서 루트 안에 있는 b^2-4ac라는 식의 부호에 따라
주어진 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 지니는지,
중근을 지니는지, 서로 다른 두 허근을 지니는지를
판별할 수 있습니다.
그래서 이차방정식의 각 항의 계수로 이루어진
식 D를 이차방정식 근의 판별식이라고 합시다.
이때 허수 단위 i를 도입하면 실근을 갖지 않은
판별식의 값이 음수일 때의 상황을
서로 다른 두 허근을 가지는 상황이라고 생각할 수 있습니다.
참고로 위에 인수분해 어떻게 했냐고요?
이차방정식의 근의 공식 유도 과정에 따라
이차방정식의 일반적인 근의 형태를 작성할 수 있습니다.
따라서 모든 이차방정식을 다음과 같이 작성 가능
이제 처음 이차식에
=0 대신 y=을 왼쪽에 붙이면
이차함수가 됩니다.
그래프는 다음과 같습니다.
실수 전체의 집합을 정의역으로 할 때
최고차항의 계수가 양수이면 감소하다가 증가하고
최고차항의 계수가 음수이면 증가하다가 감소합니다.
즉, 최고차항의 계수가 양수이면 최댓값을 갖지 않고 최솟값을 갖고
최고차항의 계수가 음수이면 최댓값을 갖고 최솟값을 갖지 않습니다.
왜 그런지는 수학2에서 도함수를 배우면
이차함수의 도함수가 일차함수인데 일차함수는
최고차항의 계수가 홀수인 다항함수로서
적당한 닫힌 구간에서의 사잇값 정리에 따라
실근을 갖기 때문임을 확인 가능합니다.
정확히는 실근을 갖는 x값 근처에서
부호가 일관적으로 변화하기 때문에
그에 따라 함수의 증가와 감소가 변한다...
자세한 이야기는 후에 합시다!
그래서 이차식은 위와 같은 꼴로 정리할 수 있고
이를 통해 =0을 만족하는 근을 구하든
y=에 대응하는 그래프를 그리든 할 수 있다!
라고 간단하게 정리해두시는 것도 좋겠습니다.
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