극한 계산 때 주의할 점
게시글 주소: https://orbi.kr/00066464692
안녕하세요. 여기서 이런 칼럼글은 어째 처음 써 보는 것 같아 시작을 뭘로 해야 할지 애매하네요...
극한 문제를 풀 때 여러 가지 편법이 있죠. 로피탈이라던지 테일러 급수라던지...
이런 방법을 쓸 때에는 다 전제조건이 있어서 헷갈린다거나, 아니면 이게 교육과정 밖이라서 쓰기 싫다거나 하는 이유로 순수하게 극한만으로 풀려는 분들도 요즘 많이 보입니다. 좋은 학습방법이죠.
다만 순수하게 극한만으로 풀 때에는 여러 주의할 부분이 있습니다.
1. 극한 계산을 할 때에는 식 전체를 한 번에 보내자.
잘못된 예시를 몇 개 들고 와 보겠습니다.
이 값이 e로 수렴한다는 것은 자명합니다. 그런데 밑에 있는 x를 먼저 0으로 보내고 지수를 0으로 보낸다면 어떻게 될까요?
밑의 x를 먼저 0으로 보내면 밑은 1이 될 것입니다. 거기다 1/0=무한대 제곱을 해 봤자 1이겠죠.
또 밑변의 길이가 1인 이등변삼각형의 높이를 계산한다고 해 봅시다.
높이를 n이라 두면 빗변의 길이는 루트(n^2+1)이겠죠. 빗변과 밑변 사이의 각을 세타라 하면 코사인법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.
여기서 세타를 0으로 수렴시키면 어떻게 될까요?
단순히 세타만 0으로 수렴시키면 3/4 = 0이라는 이상한 식이 되어버립니다. 여기서 문제는 n이 세타에, 혹은 세타가 n에 종속된 변수라는 거죠.
n과 세타는 위의 관계식으로 묶여 있습니다. 따라서 세타가 0으로 가면 자연스럽게 n도 0으로 가게 되는 거죠.
이를 무시하고 그냥 한 변수만 수렴시켜 버리면 위와 같은 오류가 발생하게 됩니다.
2. 우리가 알고 있는 극한값을 무지성으로 대입하지 말자.
이건 위와 연결되는 내용입니다.
이것은 너무도 유명해서 다들 외우고 쓸 겁니다. 그리고 우리는 테일러를 좋든 싫든 조금은 맛보고 문제를 풀어봤죠.
그래서 위의 식이 포함된 식에서 우리는 종종
를 별 생각 없이 대입하게 됩니다.
그런데 이게 대부분의 경우 옳지만 항상 옳지는 않죠. 예를 들자면 아까 제가 답해준 글에서의 문제가 있겠네요.
여기서 tan x를 x로 단순 치환하면 위아래를 x로 나눠서 (1-1)/x^2로 바꿀 수 있겠네요. 그런데 이렇게 풀면 분자 0, 분모 0인데 더 이상 어떻게 바꿀 수도 없습니다. 잘못된 풀이이죠.
저 식은 사실 정규 교육과정 내에서 어떻게 풀긴 상당히 까다롭습니다. 0/0꼴이므로 로피탈을 반복 적용해서 풀던가, 아니면 테일러 급수의 3차항까지 근사해서 1/3이라는 답이 나옵니다.
질문하신 분은
까지 변형한 뒤 위아래를 x로 약분했죠. 여기서 문제가 생깁니다.
2tan x/2는 단순히 근사하면 x가 되지만 이걸 x로 취급해서 분자를 x로 묶어도 된다는 것은 아닙니다. 이건 위에서 이야기했던 특정 항만 먼저 수렴시키면 안된다는 것에 어긋나는 거죠.
이 식을 로피탈, 테일러 급수 없이 푸는 방법은 다음과 같습니다. 이거 말고도 다른 풀이가 있을 수 있지만 전 모르겠네요...
상당히 접근법이 어렵습니다... 네.
그래서 이 문제는 테일러 급수 3차근사식을 통한 접근을 추천드립니다. 로피탈도 사실 3번이나 써야 해서 상당히 더럽거든요.
여기까지 생각나는 대로 끄적여봤네요.
사실 저는 반쯤 무지성으로 테일러 급수를 대입해서 푸는 편입니다. 분모 분자 차수 비교해서 거기에 맞는 수준까지 대입하는 방식으로요. 물론 테일러 급수 이용하는게 더 복잡한 경우도 많고 해서 일반적인 풀이 기법도 연습하지많요.
조금 길어졌네요. 부족한 글 봐주셔서 감사합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
올해까지는 4등급컷부터 20점초중반으로 떨어질만큼 탄탄하던데 사실 이유를 모르겠음
-
요새 정신병원은 폰 안 걷어가냐?
-
민법이랑 형사소송법 합치면 최소 3400 페이지가 넘어가는데...ㄷ.ㄷ
-
그걸 어케 복구 할 수가 없으면 미쳐버린다
-
저번엔 디엠안보고 톡만 답장하더니 이번엔 톡안보고 저번 디엠만 답장하네
-
ㅗㅜㅑ
-
7개밖에 못맞음
-
경희대 자퇴 0
경희대 자퇴 해보신분들 프로필에 이름 학번(제적) 이렇게 뜨는데 자퇴된거맞죠?
-
메인글 개빡치네 2
왜 저딴사람이 교사인거지? 자기 학생들한테도 그러나? 애들이 너무 불쌍하다. 교수...
-
시험과외는 또 처음임
-
나 고12 환급이 캐쉬로들어옴
-
사유는 이빨 깎은 부분 조심하라해서 그쪽으로 양치를 빡빡 몬함 근데 이거 먹다가...
-
다정 vs 뉴런 0
다정 앞부분 보니까 되게 친절하게 잘 설명되어있어서요.. 뉴런 Theme 9까진...
-
삶이 그대를 속일지라도 너무 노여워말라 순진무구한 볕 하나 네게 들지 못할쏘냐...
-
전부 시대기숙얘기함...
-
저녁 ㅇㅈ 0
김밥 떡볶이2 오뎅3 집가서 먹어야지~~
-
이게 대학가가 맞냐?
-
잠시 복귀..
-
윈터 애들은 눈치라도 있었지 얘들은 걍 알빠노마인드라서 빌런짓 함…그리고 가오는 왜부리노
-
파트너분도 다시 한 번 되물어보시더라... 약간 부끄러웠달까
-
근데 개인적인 주관이 많이 가미된 사실 쉬느라 못쓸수도
-
공부 우선순위 1
지금 수학 3모 4모 이런거 치면 거의 70점대 3등급? 정도 나오는데 이걸 올리고...
-
시너지 개씨발이네 진짜
-
하.. 오래 참았다...
-
참고: 이대는 수시로 옴, 최저용으로 3개월정도 준비해서 수능침+간판 업글 한다면...
-
...
-
아무데나 아무 글이나 쓴다 뒤지게 배고픈 느낌이 든다 냉장고에서 빵이나 남은...
-
개형추론의 맛이란
-
저는 설맞이랑 지인선이 제일 좋았는데 다른 분들은 좋았던 N제 있었나요? 최대한...
-
차영진 십일워하고 정병호 레알비기너스 생각중입니다
-
메인글 씹년아!!!
-
기출만으로 이과수학 커버는 어렵죠?
-
작수 수학 낮3이었는데 시대 재종 수업 따라가기가 너무 힘들어요.. 정확히는 과제가...
-
버블티먹고싶다버블티먹고싶다버블티먹고싶다버블티먹고싶다 5
타로버블티나블랙밀크티펄추가해서3분컷하고싶구나
-
김동욱 강민철 1
님등 김덩욱 독서만 들으시면 문학하실 때 안들으심?? 연필통은??
-
변리사 시험 난이도나 수험 기간 등이 어느정도일까요?또한, 변리사 시험의 어려움이...
-
일단 성적대도 맞고, 하고싶은 일도 있어서 워라벨 좋다는 약사 되려고 약대 가긴...
-
불안은 언제나 머리에 숨어웃어보려 할 때 내 속에 스며참기 힘든 생각에...
-
정석민t 수강하면서 글 보는 방식이 아예 달라지긴했는데 0
문제는 이게 한지 얼마 안되서 그런가 시간이 너무 오래 걸림;;
-
역행도 다 매진이라 터미널 가야 본가 갈 수 있다고 ㅋㅋㅋ 이게맞냐 ㅠ
-
일 년 동안 정 많이 들었다 여기서 별 일이 다 있었는데
-
ㅎㅇㅇㅅㄷ 1
하아앙섯다
-
잇올러들아 0
다들 잇올 조명 ㄱㅊ음? 오늘 잇올 개방형 처음 갔는데 조명이 밝다못해 눈이...
-
망고요구르트펄 흑당밀크버블티 이런거..
-
사람을 찾습니다ㅠ
-
정답은 메인글 댓글에 대댓글로 달아주세요
-
수식, 그래프 둘 다 자유롭게 사용 가능해야하나 그냥 뭔가 ㅈㄴ 어려움
-
혐오의 시대 0
허허실실
굿굿
이해가 잘 안되는데요, 왜 저 4L에서 2x는 x로 바뀌고 바로 밑에서 3L로 바뀌고 x가 tanx로 바뀌는건가요?
아 오타냈네요... 지적 감사합니다! 수정하겠습니다!
3L은 4L에서 왼쪽 L을 뺀 거에요
평균값 정리로 마지막거 풀수 있어요