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책참 [1020565] · MS 2020 · 쪽지

2023-09-19 17:47:51
조회수 2,228

당신은 주인공입니까?

게시글 주소: https://app.orbi.kr/00064466806


ㄱㄴㄷ 모두 f(x)에 관해 묻고 있기 때문에 f(x)의 정보를 파악하면 쉽게 해결할 수 있을 것임을 예상할 수 있습니다. g(x)가 다항함수이기 때문에 갖고 놀기 좋다는 점과 다음의 관계식으로부터




다음으로의 식 작성을 이어가시면 좋겠습니다.





그리고 이와 비슷한 느낌의 상황을 가져와보면...




2024학년도 6월 미적 28번입니다. (가) 조건의 우변에 위치한 수식을 적당히 g(0)=g(2)를 만족하는 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 g(x)라고 해봅시다.





f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라는 조건을 주었고 (나)에서도 f에 대한 이야기를 하고 있으므로 f(x)=_____ 꼴로 식을 작성해 정보를 정리할 수 있으면 문제 상황을 쉽게 해결해볼 수 있을 것이라는 기대! 해보시면 좋겠습니다.




2022학년도 수능 12번입니다. f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 f(x)의 최댓값, 최솟값을 알려주었고 f(x)의 함숫값들을 묻고 있으니 마찬가지로 f(x)=_____ 꼴로, f(x)를 주인공으로 상황을 정리해보는 것이 문제 풀이에 도움이 될 수 있다는 생각이 들면 좋습니다.






이제 그래프 그리고 최대, 최소가 존재한다는 점과 그 값이 각각 1, 0임을 이용하시면 실수 전체의 집합에서의 f(x) 정보를 확정지으실 수 있습니다!




합성함수의 그래프로서 해석하려고 하면 머리가 깨져버릴 것 같으니 일단 식을 정리해봅시다!




f는 상수항 말고 다 결정되어있으므로 f'는 결정되어 있습니다. 역함수가 정의되려면 정의역 내에서 원래 함수가 일대일 대응을 만족해야합니다. 연속 함수에 대해 일대일 대응을 만족한다는 말은 주어진 함수가 일대일 함수라는 의미, 다시 말해 증가함수 혹은 감소함수라는 뜻입니다. 자세한 내용은 수학(하)와 수학(하)의 확장판이기 때문에 저도 잘 기억이 나지 않아... (물론 이 정도만 다루어도 수능 수학 수준에서 충분한 설명이 된다고 생각합니다)



따라서 g(x)라는 f(x)의 역함수를 괜히 주지 않았을 것입니다, 수능 수학도 누군가에 의해 인위적으로 만들어진 문항이기 때문입니다. 출제 의도만 의심하는 것은 수학 실력 향상에 별 도움이 되지 않지만 충분한 훈련과 연습을 거치며 적당히 출제자가 무슨 생각을 하며 문항을 만들었을지 생각해보는 것은 풀이 방향 설정에 큰 도움이 될 수 있다고 느꼈습니다. 그래서 직접 문항을 만들어보고 평가해보는 것이 수학 실력 향상에 큰 도움이 된다고 생각합니다. 


방정식 g(x)=2x or g(x)=-2x+2의 구간 [0, 1]에서의 실근 존재 여부를 조사해야하기 때문에 함수 y=g(x), y=2x, y=-2x+2의 그래프를 그려두고 교점 조사를 해보면 되겠습니다. f(x)가 최고차항 계수가 양수이고 최고차항 차수가 홀수인 다항함수이기 때문에 일대일 함수가 되려면 증가함수일 수밖에 없습니다. 따라서 g(x)도 증가함수입니다. (이 과정도 논리적으로 보여보시기 바랍니다, 증가의 정의와 역함수의 정의를 이용하시면 보이실 수 있습니다!)


y=2x, y=-2x+2의 그래프는 그릴 수 있기 때문에 y=g(x)라는 증가함수의 그래프가 어떻게 생겼을지가 문제의 핵심이 되겠습니다. 다시 말해 g(x)에 관해 식을 정리하고 나서 g(x)가 주인공임을 확실하게 확인할 수 있는 문항이었습니다.




2023학년도 수능 22번입니다. (가) 조건을 점 (1, f(1))과 점 (x, f(x)) 사이의 평균변화율로 해석하여 평균값 정리를 적용해 바라보는 관점도 좋지만... g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라고 했고 (나)에서 g의 최솟값을 알려줬고 (다)에도 g(1)이 들어가있으니 'g(x)가 주인공인가?' 하는 생각을 해볼 수 있습니다.


또한 저처럼 수학적 머리가 좋지 않은 학생 분들께는 오히려 수식으로 밀어붙이는 것이 직관적인 풀이일 수 있다는 생각을 해왔습니다. 따라서 이러한 맥락에서 풀이를 이어가보자면 다음과 같습니다.






수식이 조금 복잡하긴 하고 f(x)에도 미지수가 2개 들어가있기 때문에 계산이 조금 들어오지만.. 어쨌든 2017학년도 수능 나형 30번 및 2024학년도 6월 미적 28번과 마찬가지로 어떤 함수에 관한 2차방정식을 푼 셈입니다.






g(x)의 형태를 다음과 같이 생각해주면





g(x)의 증감은 결국 h(x)라는 최고차항의 계수가 1인 이차함수의 증감을 따라갈 것임을 예상할 수 있습니다.



g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 우선 g(x)가 실수 전체의 집합에서 정의되어야 하기 때문에 루트 안은 음수가 될 수 없습니다 따라서 h(x)가 지니는 함숫값들은 실수 전체의 집합에서 0 이상이어야합니다. 따라서 이차함수 h(x)는 실근을 갖지 않거나 중근을 가질 것입니다.


만약 h(x)가 실근을 갖지 않는다면 (나) 조건에서 g(x)의 최솟값 존재성, 다시 말해 h(x)의 최솟값 존재성을 만족시키기 위해 g(x)를 다음과 같이 확정지을 수 있습니다.





이제 그 최솟값이 5/2임과 f(g(1))=6을 이용하시면 a, b값을 결정하실 수 있고 그에 따라 f(x)도 결정하실 수 있으십니다.



만약 h(x)가 중근을 갖는다면 h(x)의 판별식이 0이어야 하는데.. 조사해보시면 a값에 무관하게 D<0이기 때문에 h(x)는 실근을 갖지 않음을 확인하실 수 있습니다. 따라서 위에서 확인한 상황이 정답이 되겠습니다.






이렇듯 살펴본 문항들에서 '어떤 함수가 주인공이다'라는 생각이 들었을 때 그 함수에 대해 정보들을 정리해보면 문제 상황을 쉽게 혹은 확실하게 해결할 수 있었습니다. 수능은 100분 내에 만들어낼 수 있는 최고의 점수를 만드는 시험이기 때문에 '아름다운' 풀이나 '쉬운' 풀이도 좋지만 '확실하게' 문항을 해결할 수 있는 풀이를 확보해두는 것이 정말 중요하다고 생각합니다.


그래서 2023학년도 수능 22번과 같은 문제도 비록 평균변화율로 정의된 함수를 평균값 정리를 활용하여 핵심을 정리하는 풀이가 정석으로 퍼져있는 듯하지만... 이와 같이 직접 g(x) 수식을 작성하는 쪽의 풀이도 분명 의미를 지닌다고 생각하고 있습니다. 특히 바로 다음해 6월 모의고사에 같은 사고과정이 출제된 것을 볼 때요! (위에 있는 2024학년도 6월 미적 28번)







당신은 주인공인가요? 당신은 당신이 주인공이라고 생각하시나요? 이러한 추상적인, 실체를 만져볼 수 없는 질문들은 사람마다 그리고 각자가 처한 상황에 따라 다른 답을 내놓을 수 있다고 생각합니다. 


저는 시간이 얼마 남지 않았으니 열심히 해라, 그동안 잘 해왔으니 좋은 결과가 있을 것이다... 와 같은 형식적인 말을 하길 별로 좋아하지 않는 편입니다. 대신 확실한, 객관적인 사실만을 혹은 그것처럼 보이는 말들을 남기는 것을 좋아합니다.


확률과 통계 선택자 분들은 아시겠지만 우리가 말하는 수학적 확률과 경우의 수는 다릅니다. 수학적 확률은 말 그대로 '이 사건이 수학적으로 얼마 만큼의 확률을 지니고 발생할 수 있는가?'에 대한 정보를 주지만 경우의 수는 그러한 경우의 수가 '존재한다'라는 그 존재성 자체를 보여줍니다.



내가 지금 이 순간의 주인공이라고 믿든, 믿지 않든 그것은 여러분의 선택입니다. 하지만 저는 적어도 스스로에게 주어진 삶 속 주인공이 나 자신이라고 생각한다면 확률보다 경우의 수를 믿으라는 말씀을 드리고 싶습니다. 


남은 기간 동안 여러분이 죽어라 공부해서 목표 대학, 학과에 합격할 확률을 고려하는 것도 필요하겠지만 합격한다는 그 경우의 수가 존재함에 더 초점을 두셨으면 좋겠습니다. 과거에 나와 6모, 9모 성적이 비슷했던 학생이 어느 대학에 갔는지, 나와 비슷한 학습 방법을 택했던 이가 어떤 결과를 맞이했는지, 통계적으로 볼 때 내가 어느 대학, 학과에 다니게 될 확률이 큰지를 생각하는 것도 필요할 때가 있겠지만... 내가 진심으로 가고싶은 대학, 학과에 내가 합격하여 다니는 그 경우의 수에 초점을 둔 상태에서 남은 시간을 보내가셨으면 좋겠다는 뜻입니다.





단 하나의 경우의 수, 그것이 당신의 미래로 확정될 순간을 기다리고 있겠습니다. 얼굴 한 번 뵙지 못한 분들이지만 2022학년도 수능을  준비했던 한 수험생으로서 진심으로 응원하고 있겠습니다.


모두 남은 오늘 하루도 힘내세요! 글 읽어주셔서 감사드립니다.

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