[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
게시글 주소: https://app.orbi.kr/00054696644
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
올해 김승리랑 강민철 인강 들었고 내년에 현강 갈건데 객관적으로 누구 들어러 가는게 나을까요 ㅊㅊ좀
-
내년에 김승리 현강 들으려고 하는데, 수강료 얼마예요? 교재값은 받나요???
-
장재원 자받튀 0
장재원 현강 QR 찍고 수업 안 듣고 자료 다 받고 나중에 복영으로 들어도 상관...
-
러셀에서 현강들을 건데 김상훈 강민철 중에 누구들을까요 문학 잘하고 싶어서 김상훈...
-
시대인재에서 나중에 서바 플로우 등등 나올 거 아니야 국어 과탐 수학중에 어느게...
-
내용 이해 자체를 못하거나 이럴 것 같진 않은데 공통이동준 미적강기원 하려는데 너무...
-
강민철 정석민 1
강민철을 들을까요 아니면 정석민을 들을까요? 강민철 듣는다면 강기분새기분까지는...
-
얼마나 빨리 가야 앞자리 앉을 수 있나요? 오후 수업이에요! 알려주시면 감사하겠습니다…
-
정상모 현강 0
정상모 선생님 두각 현장에서 강k보나요? 또 수업은 뭐하나요?? 그리고 대치 첨...
-
이훈식쌤 현강 1
일요일 대치두각 오전9시 처음 가는데...보통 다를 몇시 쯤 오시나요..?8시 쯤...
-
지금 허들 현강생인데 파이널은 따로 또 신청해야하는건가요? 아님 지금 다니고 있으면...
-
안내문자 받으셨나요? 2시 전 후로 보내준다고 그러던데 아직 안 와서요
-
6평은 80점 나왔습니다.. 수학 잘 하는 건 아니긴 한데요 이정도 수준에서...
-
강민철 현강 대기자는 어떻게 되는건가? 그 시간에 쭉 대기했던 사람은 8개 반...
-
대치러셀 9평대비 이감 해설 대기 100번인데 개강 전까지 빠질 수 있을까요..?
-
좌석예약이 첨이라 허겁지겁했는데 f열이면 중앙에서 많이 치우쳐져있나요...?
-
정석민 현강 가격 어느정도 하나요? 교재비 포함 한달에 어느정도 나가는지 알고 싶습니다.
-
윤도영 실전반 77만원.. 105
실모+ 주간지가 합쳐서 일주일에 2만원 2×7=14, 36+27=63 합쳐서...
-
지금 140번댄데 얼마나 걸릴까요?
-
재수생이고 두각에 현강들으려고보니 가는데 이동시간이 1시간 좀 넘어서... 듣고는...
-
현강 중간에 합류하면 교재는 어떻게 함? 거기서 주나요?
-
불후의 명강 SPEED.ver (여름방학 개강하는거) 이것도 현강으로도...
-
1등급 성적표 수학만 나오게 찍어서 내도 됨? 그리고 현강생용 자료는 어느정도나 됨?
-
양승진 2
수양 주간지 난이도가 어느정도임?? 수열 나만 어려움? 내가 수열 좀 못하긴 하는데...
-
1.비대면 현강은 현강과 가격이 같나요? 2.비대면 현강은 어떻게 신청하나요? 그냥...
-
이미지T 현강 1
이미지 쌤 ㄹㅇ 개호감인데 왜 현강 없냐.. 재종만 하시는거임? 아님 원래 현강 없으심?
-
현재 최적쌤 정법 현강 고민중인데 인강은 듣기 시작한지 얼마 안 돼서 1강정도만...
-
이전 강의를 완벽하게 숙지하고 있어야 하나요? 당장 토요일에 갈 수도 있는데......
-
두분중에 한 분 현강 대기 걸어놓으려고 하는데 뭐가 더 효율이나 시너지가 클까요...
-
제발 도와주세요ㅠㅜ)의대 목표 SKY 학고 삼반수생 겨울방학 현강 듣는게 맞나요?? 4
안녕하세요 정시 의대를 목표로 재수를 해서 SKY 성적이 나왔고, 학고반수를 걸고...
-
의뱃분들 도와주세요..) 의대 목표 SKY 학고반수생 겨울방학 현강 듣는게 맞을까요? 1
안녕하세요 정시 의대를 목표로 재수를 해서 SKY 성적이 나왔고, 학고반수를 걸고...
-
강민철 현강 5
강민철 현강 문학 들으시는 분들 제가 안내장을 떨군거 같은데 안내장사진이나 숙제...
-
작년기준에서는 별로 없고, 파이널만 좋다고 해서 물어봄 현강민철이 좋다는 데...
-
사회.문화를 사랑(혹은 애증?)하는 전국의 옯비 여러분! 반갑습니다~ 디오르비...
-
(여기다가 수리논술 현강 들을까요? 말까요?) (뭘 뺄지.. 뭘 넣을지... 또는...
-
밤 12시 쯤에 대기 넣었는데.. 가능할까요..? 강기원t, 최수준t, 김현우t 넣었습니다.
-
고1 내신때 언매 공부했다가 지금은 다 까먹었음 국어 모고는 1 고정이라서 일단...
-
겨울부터 정상모T 현강 커리 타려고 하는데 이분 어떠심 리본강좌나 엔써 이런거
-
현강 교재 0
24학년도 수능 준비 대성패스 구매예정인데 현강 교재를 패스 교재캐쉬로 미리...
-
강민철2024 현강 신청했는데요 질문 좀 받아주세요 4
1.강기분 끝나고 새기분 현강 다시 신청해야 하는건가요 아니면 자동으로 학원비만...
-
지방러입니다. 시대인재 단과 수업을 꼭 듣고 싶어서 내년에는 비대면 현강을...
-
간절합니다... 0
예비고 3 겨울방학 1 ~ 2월에 서울에 현강을 들을 건데요 지방러라 1, 2월만...
-
그것은 바로 현강 현강 은퇴 이제 안해도 될 것 같은데… 서브 강좌만 영상으로 하고...
-
수업중에 단어시험을 본다고 하는데 단어를 거기서 주는걸 외우는거에요 아니면 자기가...
-
원래 시대인재 현강 듣던 현강생들 파이널 개강하면 다시 신청해야하나요…??
-
겨울방학에 대치 러셀에서 수학 현강 들을 생각인데요.... 김기현T 아니면 양승진T...
-
대치동에서 예비고1이 들을만한 영어 현강이나 단과 추천해주세요!!ㅜㅜ
-
이훈식t 현강가면 솔텍 수업 하는걸로 알고 있는데 1.솔텍 책 그냥 주나요?...
-
유대종 현강 2
현강에서 진또배기 한다는데 문학이랑 비문학 다하나요?
-
인강 핫콜 양이랑 현강 핫콜 양차이 얼마나 나는지 아시는분 있나요?
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~