a<b일 때 0<af(b)<bf(a)이면 f(x)는 위로 볼록?
게시글 주소: https://app.orbi.kr/0005003804
(09년도 대비 9월 평가원 수리 가형 11번입니다. 문제에는 x,y로 조건이 써있는데, a,b로 수정했어요.)
요약
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
이때 f''(x)<=0임을 증명.
-----------------------------------------------------------------
조건
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
보기생략
일반적인 풀이
0<f(b)/b<f(a)/a이므로 '그려보면' 위로 볼록인 개형이 나온다. 따라서 위로 볼록으로 잘 그려서 삼각형 열심히 만들어서 풀면 됩니다.(보기나 뒤쪽 해설같은건 생략할게요. 논지에서 벗어나니)
물론 저렇게 풀면 답이 잘 나옵니다만, 수식으로만 유도해보고 싶은데 잘 안나오네요.
우선 a<b일 때 f(b)/b<f(a)/a이므로 (0,1)에서 f(x)/x는 감소함수입니다. 즉 (f(x)/x)'<=0이고, h(x)=xf'(x)-f(x)로 놓으면 h(x)<=0입니다.
f(0)=0에서 h(0)=0이므로 h(x)의 그래프는 원점을 지납니다.
이제 h(x)가 (0,1)에서 감소함수임을 보이면 h'(x)=xf''(x)<=0이 되고, x>0이므로 f''(x)<=0, 즉 위로 볼록임을 증명할 수 있습니다. 그런데 이게 진짜 잘 안나오네요. 식조작을 어찌하면 좋을까요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
ㅎㅎ
-
솔직히 수능 전에 공부하는 거나 불안한 건 견딜만했음 수능 다시 치기로 한 것도 내...
-
1. 회로날먹 2. 물1 평가원 47-50 고정 이게 컸음 물리는 ㄹㅇ 연관성이 큰 과목이라
-
연대 고대 한양대 가능한가요? 한양대는 높공 가능?
-
면접에서 30명 봐야하는데 10명밖에 안왔는데 원래 수시면접에서 시간대를 나눠서 보나요?
-
ㅈㄱㄴ
-
오늘 저 경북대가요 18
논술보러 그먼곳까지...
-
내일 이대 수리논술 끝나고 세종대 바로인데 가야하겠죠? 택시라도 타고 가보는게...
-
역에보에 용수철 나옴 특상 전자기 귀류퍼즐 물2엔 셋 다 없어서 개꿀
-
응 될때까지 신청할거야
-
여러분들이라면 어디 쓰시나요?
-
의대 면접 1
붙기 어렵나요? 면접에서 떨어지는 경우가 많나요?
-
친구랑 얘기가 나와서 투표 올려봄니다
-
근데 다 수강생만 받네...
-
생1 생2 정법 셋이 탑인 듯 사문도 지문 계속 길어지는 추세인 거 같은데 이대로면...
-
너도 사랑했던 님 찾아 우는구나
-
돈때매 고민되는데 수험생활에 투자한다치고 사는게 낫겠죠? 책값 패스값 하니 돈이...
-
마스크라도 끼고 다녀야하나 싶음.. 어제 밤에 산책갓다가 호흡곤란 오는줄
-
진학사 12
진짜 화나게 하지 마 내가 되는 의치대가 하나도 없을 아니 한의대도 1개밖에...
-
분명 현장 시험지엔 4번이라한것같은데 omr보고 한 가채점표엔 5번이라돼있네 탐구...
-
04년생이고 곧 군대갈 예정입니다 군대에서 최대한 수능공부 해볼 테지만 많이는...
-
안녕하세요. 이 글은 수능 물리학2 선택을 고민하는, 혹은 이미 하기로 마음 먹은...
-
화2 생2 <== 얘네는 겉보기 난이도가 너무 괴랄함 5
투과목 느낌좀 보려고 서점가서 기출문제집 보고왔는데 얘네 둘은 그냥 30분 안에...
-
모닝 우동 4
냠냠
-
나쁜 사람이에요
-
잠은 확 깨네
-
폰켰는데 주식 44% 꼴박해서 심장멎을뻔했음 버그더라
-
수시 아니엇으면 ㄹㅇ 대학 못갈뻔햇다ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 그날 컨디션도 컨디션이었는데...
-
-
왜 저딴 식으로 글을 쓰는지 모르겠네 일단 스카이 가고 보세요 좀.. ㅋㅋ 뭔...
-
-
김승리 뜨면서 뭔가 한번 더 하지 않을래 라는 표정으로 보는것 같아서 킹받네
-
경북대로박박간다 0
박박
-
ㄹㅇ수능타이머인가
-
(서울대 커뮤니티 스누라이프) 서울대 25학번 오픈채팅방을 사전 소개합니다. 0
안녕하세요. 서울대 커뮤니티 SNULife 오픈챗 준비팀입니다. 서울대 25학번...
-
피곤한 아침 24
-
충격적이게도 진짜임
-
18학번으로 정시 지방교대 입학해서 교사 3년차에 군대에 와있는...
-
암튼 가는 중
-
면접 준비하고 있는데 질문하실 거 같아서.. 의대 정원 증원 말고는 또 없을까요?...
-
D-355 0
기릿?
-
사문 4
요즘 타임어택 어떰
-
기상 6
-
할 수 있습니다!
-
고속 누백 라인 1
백분위합 밑이 누백인가요 아니면 표점합 밑이 누백인가요?? 그리고 저정도 누백이면...
-
션티vs이명학 0
대성패스 있고요 영어선생님 아직못고르고있는데 두 선생님분들 해석 스타일이 어떻게...
-
권용기 한명만 들으려고 대성패스 결제할정도로 메리트가있나요?
-
공군: 복무 기간이 육군보다 3개월 더 기니까 3개월동안 후회함 육군:18개월동안 후회함
-
부대 수험표 0
부산대 수험표 거기서 뽑을 수 있나요? 집에 두고 옴;;;
-
1월 1일 지나도 졸업증명서 필요한가요 ㅠㅜ
애초에 명제를 생각해낸 논리부터 고려하셔야 될 거 같아요. ' 00에서 0보다 클 때, f(a)/a>f(b)/b이면 f(x)는 위로 볼록이다'라는 명제를 수식으로 증명하려고 할 수 있지만, 역으로 반례를 찾으면 거짓이 됩니다. 아마 대강의 그림을 그려보시면 반례를 찾으실 수 있을 겁니다. 아니면 적당한 삼차함수를 잡으시고 기울기를 관찰하셔도 됩니다. 즉, 수식으로 참임을 증명할 수 없습니다.
조건이 af(b)/b뿐이라면 반례가 존재합니다. 그런데 실제 저 문제를 풀때 명시된 조건을 가지고 위로 볼록으로 판단해서 푸는 해설말고 다른 해설을 본적이 없어서 질문올린거에요 ㅎㅎ ㅠㅠㅠ물론 여기서 위로 볼록은 (0,1)에서의 위로볼록입니다.
저도 완전한 풀이 올리고 싶은데 수험생인지라 시간이 너무 오래 걸릴 거 같네요 ㅜㅜ(어려운 문제긴 해요 ㅋㅋ), 대신에 포카칩님이 쓰신 '수학영역의 비밀'이라는 책에 이문제에 대한 논리적인 풀이가 있습니다. 아마 해답지 말고 본문 속에 있을 거에요. 주변에 친구 책이나 아니면 서점 가셔서 한번 찾아보시길!!
오오 그렇군요 한번 찾아봐야겠네요 ㅇㅂㅇ
명시된 조건은
다항함수 f(x), f(0)=0 0