[열공수학] n등급 수학 A형 독학 학습법 (번외편)

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* 안녕하세요 30점 열공수학 - n등급 (n>2)을 위한 수학 A형 독학 학습법 - 번외편입니다.

- 오늘은 칼럼 계획은 없었고, 많은 쪽지에 답쪽지를 날리다 생각난게 있어서 올립니다 -

수학을 잘하기 위해 필요한 것 - 끈기 (대부분 학생들은 공부를 합니다. 그리고 문제를 풀었는데 안풀리죠.

그리고 생각을 합니다. 나는 안되나부다. 또는 시험을 봤는데 성적이 안나옵니다. 역시 생각을 합니다.

나는 안되나부다. 그래서 포기하죠....또는 수포자라고 스스로 칭하죠...

끈기 있게 공부하기 위해서는 오래 버틸 수 있는 힘이 있어야 하는데

이런 힘의 원천은 즐거움일때 가장 오래 지속 될수 있습니다.

선생님의 칭찬도 좋고, 스스로의 격려도 좋습니다.

가장 좋은건 본인의 성취감이겠지요. 어 공부하니 나도 되네? ㅎㅎㅎ

공부는 2가지 관점에서 접근해야 합니다. 하나는 내가 아는 것과 모르는 것을 구분하기.

또 하나는 내가 모르는 것을 줄여나가기...그리고, 시험은 이렇게 생각해야합니다.

내 전체 공부량이 모집단의 특성이라면,

결국 시험은 표본 추출을 통해 본인의 공부량을 알아내는 과정입니다.

즉, 시험은 샘플을 통해 모집단의 특성을 보려는 거죠...그러므로, 시험 그 자체에는 사실 아무런 의미가

없습니다. 나의 상태를 점검해 주는 일...예를들면, 건강검진을 받으러 가는 목적은 나의 건강을 체크 하는

거고, 그 건강진단에 따라 운동을 하거나 식이요법을 하거나 휴식을 하거나 결국 건강해지기 위해 하는

겁니다. 건강검진 잘 받으려고 몇 일동안 금식하거나 다이어트 해봐야 건강해지지는 않습니다.

시험이 중요한게 아니라 공부가 중요한겁니다.

학습이란 공부범위를 정해서 줄여나가는 과정입니다. 아는 것을 정확히 아는 것...

내가 모르는 것이 줄어드는 기쁨...이런 기쁨이 느껴져야 더 열심히 공부할 수 있습니다.

그렇다면 기쁨을 느끼는 공부, 오래 끈기있게 버티는 공부법은 무엇이 있을까요?

개념 공부를 하고 있는데, 문제 풀이량이 적은것 같아서 고민하거나, 공부가 쉽게 지치는 학생은

쉬운 모의고사를 병행해서 푸세요. (꼭 고3꺼를 풀어야 하는 것은 아닙니다. 고2 11월을 푸셔되 됩니다.)

본인이 공부한 내용이 적용되는 즐거움을 느낄 수 있다면 본인의 공부속도는 점점 향상될 것입니다.

수능이 다가오고, 해야할 것은 많고, EBS는 언제하나?

여러가지 고민이 많지만 결국 그건 레이스를 출발해서

중간을 지나가면 해결되는 고민입니다.

왜냐하면, 중간 이상 달린 사람에게만 결승선이 보이는 당연한 진리때문이죠.

출발할때 아무리 고민해도 결승선은 보이지 않는데, 달리지도 않으면서

계속 결승선이 보이지 않는다는 타령만 합니다. 일단 달리세요...

사실 지금을 인정하는게 중요해요...지금 4-5등급인데, 바로 1등급 될 수 있으면 누가 열공하겠나요?

다 놀다가 고3때 반짝하면 되는데...중요한 것은 1등급이 안되더라도 지금보다

올려가려는 처절한 노력이 중요한 겁니다. 몇 등급이라 불리우는 건 그 후에 나타나는 결과일뿐이구요..

물론, 대학을 가기위해 시험을 보고, 결과를 위해 공부하지만, 시험 그 자체에 매몰되지 않으셨으면

좋겠습니다. 건강검진의 목적은 건강에 이상이 있는 것을 발견하여, 조치를 취해서 건강한 삶을

유지하는 것이고, 모의고사의 목적은, 모의고사를 통해 본인이 그 부분을 모르고 있다는 사실을 알려주고

제대로 공부해서 알게 되게 만드는 것입니다. 3월, 4월, 6월, 7월, 9월, 10월까지 똑같은 문제를 틀려도

수능때 맞추면 됩니다. 중요한건 틀리는 것을 기뻐하고, 보완하는게 중요합니다.

대부분의 사람들은 그다지 똑똑하지 않아서, 한번에 완벽히 이해하지 못합니다.

사례를 하나 들어 드리지요. 제가 가르치던 학생이 1명 있었습니다.

수업시간에 보통 설명을 해주고 똑같은 내용의 문제를 풀렸는데, 첫번째, 두번째 까지 잘 풀었습니다.

그냥 심심해서, 세번째 풀려봤는데 (당연히 알꺼라고 생각했기때문에 장기기억을 위한 복습차원에서)

질문을 하는 겁니다. 근데 질문을 들어봤더니 전혀 이해하지 못했던거죠.

그래서, 다시 설명하고, 다시 이해시키고, 해서 6번째 풀릴때까지 맞았다, 툴렸다를 반복하다가

7번째 풀때쯤에 제대로 이해한 모습을 보였습니다. 그리고는 10번째까지 정확히 풀고

그 이후로는 그 문제는 절대 틀리지 않게 되었습니다.

그런데, 재미있는 것은 제가 이 학생을 믿지 않고, 다른 문제도 집요하게 파고 들었더니

다른 문제도 아는 척을 하고 있었던 겁니다. 물론 10번째에 틀리지 않게 되었습니다.

이런 처절한 과정을 거쳐 결국 이 친구는 5-6등급에서 모의 2등급까지 올라갑니다.

아마도 대부분의 학생들이 이럴꺼라 생각합니다. 본인이 목에 칼이 들어온 위급한 순간에도,

정확히 아는 것과 모르는 것을 구분하고, 아는 것을 적용하세요. 정확히 아는 것이 늘어날 수록

(문제는 아는 것이 늘어날수록 알던것이 사라지는 학생들이 있는데, 이 부분을 극복하는게

관건이고, 그러기 위해서 기존의 내용을 압축해서 정리해야 합니다) 성적은 오릅니다.

암튼, 각설하고, 공부를 지속하기 위해서는 본인의 실력보다 낮은 모의고사 문제를 80~90점 이상 맞는

경험을 통해 치고 올라갈 수 있는 경험을 해야합니다. 저는 고교 입학할때 반배치고사를 본다고 준

프린트가 있었습니다. 수학을 잘하는 편이어서 (물론 고교과정 선행같은건 안했지만 저는 잘한다는

자부심은 강했습니다) 자신있게 덤볐지만, 대략 100점 만점에 30점을 넘지못했습니다. 지금 기억에는

모의고사 약 10회분 정도였던 것 같습니다. 자존심이 상했지만, 그 모의고사 10회분을 10번 정도 반복해서

풀었습니다. 처음에는 30점, 5번쯤 풀었더니 50점, 7번쯤 풀었더니 70점, 10번을 풀었더니 80점 정도

나왔습니다. 재미있는건 그게 실력이 된건지, 고교 들어가서 본 모의고사는 80~90점대가 나왔습니다.

(제가 한거라곤, 틀리는 것을 줄이기 위해 노력한것 밖에 없습니다. 생각해보면 그게 학습의 본질

인것 같기도 합니다.

제가 이 사례를 쓰는 이유는 대부분 학생들은 효율성을 추구합니다.

최소의 학습을 통해 최대의 점수를 올렸으면 하는 마음이지요...하지만, 공부는 그렇지 않습니다.

시험은 비효율적으로 무식하게 반복해서 보고, 시험장에서 그냥 내가 아는걸 보여주고 온다

- 공부를 너무 열심히 하면 시험을 빨리 보고 싶은 맘이 생기기도 합니다-

가 되어야 합니다. 투입을 많이 하는 것을 아까워하면 안됩니다.

암튼, 다시 직접적인 학습에 도움을 드리자면, 3-5등급 학생들은 좀 쉬운 고2 과정의

수학 모의고사 10회분 정도를 70 ~ 80점 맞을 만큼 반복해서 병행하세요.

(쉬운것은 나중에 골라드리죠, 어려운걸 하지 않는 이유는 자신감을 얻기위해서니까요

물에 뜰까 말까의 상황에서의 뜨기위한 영법과 자유형 50m 를 갈 수 있을때 영법이 다른 것처럼

나중에 2등급을 찍고 나면, 그 때에는 본인 난이도보다 살짝 높은 모의를 풀어도 가능합니다.

우리가 가장 두려운 것은 "나는 안되나봐"라는 예전으로 돌아가는것이니까요)

그 과정에서 틀린문제들은 개념을 정교화 하시구요. 10회분 정도를 풀면 반복되는 문제가 보이고,

내가 무엇을 더 공부해야할지가 보일 겁니다.

제가 이 댓글을 쓰는 이유는 쪽지가 한 20여통이 넘게 왔습니다. 일일이 답장을 하고 있는데

안타깝기도 하고, 혹은 쪽지로 구체적으로 큰 길은 어떻게 찾느냐는 질문에 답을 하기 위해서입니다.

큰 길이라는 것은 결국 실전에서 문제들을 만났을때 어떻게 대처할 것인가의 기준입니다.

예를들면 수열 문제가 나왔다고 한다면, 수열 문제를 일단 나누세요.

등차수열인지, 등비수열인지, 계차수열인지, 멱급수인지, 점화식인지, 혹은 무한등비급수인지 등등

예를 들어 처음에 공부할 때에는 등차 수열 공부하고 문제풀고, 등비수열 공부하고 문제풀고,

계차수열 공부하고 문제풀고, 이렇게 풀면 그 단원을 공부했고, 바로 문제 풀었을때에는 압니다.

하지만, 시험에서는 그게 무슨 수열인지 안알려주죠

큰 길 공부법은 수열이 있으면 수열에 관련된 모든 내용을 정리하는겁니다.

또한 단원간에 연결을 시키는 겁니다. 사실, 수열을 배우고, 극한을 배우고, 미분을 배우는 것은

그것들이 연결되어 있기 때문입니다. 등비수열 문제를 못푸는데, 무한등비급수를 풀리는 만무합니다.

그리고, 문제를 만났을때 얘가 뭐였지 하는 생각을 하는 과정이 중요하다는 겁니다.

만약 제대로 공부가 되어 있다면, 처음 보는 문제는 바로 보고 얘는 나중에 풀어야 겠다는 판단이

들겁니다.

결국, 수학문제가 나왔을때 어떻게 풀어야 겠다라는 원칙을 세우는 것이 큰 길을 찾는 포인트 입니다.

예를들자면, 행렬 문제가 나왔다면 3가지 중에 하나일꺼라는 겁니다.

1. 역행렬을 이용한 연립방정식 문제 (이건 ad-bc = o일때와 그렇지 않을때로 나누어서 생각한다)
2. 행렬 합답형 문제 (1) 역행렬을 구해본다 2) AB = BA인지 확인해본다 3) 1), 2)를 활용한다
3. 행렬과 그래프 문제 - n x n 행렬을 그려서 0,1로 표시한다

이런식으로 풀이의 큰 틀을 기억하고 있는게 큰 길 공부법입니다.

수열의 경우

1. 무슨수열인지 확인한다.
2. 등차, 등비, 계차, 점화식, 멱급수 등 - 초항을 찾는다, 공차나 공비를 찾는다, 일반항을 구한다
3. 잘모르겠다면 An = Sn - Sn-1을 활용해본다
4. 그래도 잘모르겠다면 수열을 일일이 대입해본다.

수학이 어려운 학생들 한테는 막연한 두려움이 있습니다.

예를들면, 내가 모르는 수열이 개발되었을지 몰라.

사실 수열의 경우 등차, 등비, 계차, (자주 안나오지만 조화), 점화식 2 ~ 3개

정도면 더 이상해야할 것이 없습니다. 내가 모르는 수열이 없다는 것을 알고 문제를 푸는 것과

내가 모르는 수열이 많을지도 모르겠다라고 생각하고 푸는 것은 하늘과 땅 차이입니다.

예를들면, 영화에서 친구가 창고에 갇혀있는데, 그를 구하러 열쇠 꾸러미를 들고 하나씩

맞추어 보는 상황에서 5개의 열쇠가 있는 경우 그 중에 반드시 열린다는 확신을 가지고

결국에는 열어 내겠지만, 20개쯤 열쇠 꾸러미가 있다면 적에게 잡힐까봐 포기하는 것과 비슷합니다.

더 쉽게 비유를 하자면, 온라인 게임에서 (저는 온라인 게임을 안해서 잘은 모릅니다)

몬스터들이 나올때마다 그 몬스터의 특성에 맞추어 무기를 사용하는게 아니라

(그 몬스터의 특성에 맞는 무기가 없다면 도망가나요?)

본인이 가지고 있는 무기에 맞는 몬스터를 끌어들인다는 느낌?

결국 본인이 풀이의 기준을 정하고, 문제를 끌어들여서 풀어내시면 됩니다.

(물론, 가끔 예외적으로 본인의 계획과 전략에서 벗어난 놈이 나타나기도 합니다.

만일 그 놈이 30번 놈이라면 본인이 2-3등급일때에는 제끼시구요...

아직 그 넘을 깰 수 있는 레벨이 아닙니다.

다른 놈들이라면 본인의 큰 길 전략을 수정하시면 됩니다. 이게 개념을 정교화 하는 과정인 겁니다.

거의 본인이 첨에 만든 큰 길로 80~90%가 풀릴 겁니다. 그걸 통해 본인의 길에 대한 확신을 높이세요.

큰 길을 만든후에 정 안풀리면 수정을 하는 전략으로 가야합니다.

문제 단위로 길을 만들려고 하면 해야 할게 너무 많아집니다.

결국, 이러한 큰 길들을 단원별로 만들어 가고, 문제를 풀면서 업데이트 하고

더 줄이는 작업 이것이 수학의 큰 길을 만드는 것입니다. (이름을 큰 길 수학으로 할까요? ㅎㅎㅎ)

간단하게 댓글로 쓰려했는데, 길어졌네요...

수학과 함께하는 즐거운 주말되세요...

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수학 열공 · 349503 · 14/03/29 21:13 · MS 2017

아래에 있는 한석원 선생님 관련 글에서 긁어 왔습니다.

잠자리에 들기 전 언제나 오늘을 반성합니다. 모든 시간을 계산하고

깨어있는 모든 시간이 내 의식 속에 있고, 나의 꿈과 함께 했는지.

단 한 시간도 쓰레기통에 버려진 내가 없었는지.

내 꿈이 그렇게 버려지지는 않았는지.

앞으로 몇 달 그렇게 보내면 길이 보입니다.

꿈도 꾸지 못했던 목표에 도달할 수 있는 길이.

그때 필요하면 EBS 문제집도 풀고, 강의도 듣고 해도 늦지 않습니다.

시간은 많습니다. 너무도 많습니다. 조급해하는 자는 자신을 못 믿어서

그렇습니다. 자신을 못 믿는 자는 애초 이룰 수 없는 자입니다.

그렇게 대부분 쓰러져 갔습니다. 그렇게 대부분 쓰러져 가고 있습니다.

영웅들의 가슴을 가진 자는 천천히 걸어갑니다.

그게 가장 빠른 길이라는 확신이 있기 때문입니다.

건투를 빕니다. - 한석원 -

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고려대궁문꽈 · 495141 · 14/03/30 01:27 · MS 2014

너무나 감사합니다^^새겨듣고 갑니다.

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콩알르 · 500510 · 14/03/30 12:22 · MS 2014

늘 잘보고 있습니다 수학에 고민이 많아 걱정이었는데 글 볼때마다 아 내가 어떻게하면 좋겠구나 하는 생각이 드네요 열심히 따라야겠어요 감사합니다

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삼수연대무뇌인 · 441534 · 14/03/30 14:46

정말 수학ㅂ身인 제게 꼭 필요한 글이에요.
좋은 글 감사합니다.

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올해수능이마지막 · 493885 · 14/03/30 20:53 · MS 2014

좋은 글 감사드려요

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Victor Neitherhofer · 495881 · 14/03/31 01:53 · MS 2014

교과서 학습이후 기출문제집은 어떤가요?

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수학 열공 · 349503 · 14/03/31 23:50 · MS 2017

교과서 학습하시면서, 교과서의 개념으로 기출이 풀린다는 생각이 들어야

교과서를 더 잘 볼 수 있습니다. 병행하세요...만약 기출이 어렵다면

교과서 보면서 기출 2,3 점 위주로 일단 보시고, 교과서를 2번째 보실때

3점 쉬운 4점으로 병행하시는게 좋습니다.

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Victor Neitherhofer · 495881 · 14/04/01 00:47 · MS 2014

단기로 교과서만 2주안에끝내고 기출 풀려고 하는데 이방법은 별론가요? 기출이랑 병행하면 시간이 너무..

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수학 열공 · 349503 · 14/04/01 01:31 · MS 2017

시간이 걸리더라도 해야할 건 해야합니다.

2주 지나서 기출을 풀려고 했을때

교과서를 처음부터 다시봐야 할 수도 있습니다.

교과서를 보기 위해 공부하는 것이 아니라

문제를 통해서 교과서의 개념을

정확하게 자신의 것으로 만들어 나가는 겁니다~

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Victor Neitherhofer · 495881 · 14/04/01 20:23 · MS 2014

아 그부분은 익힘책 풀고 있습니다. 그래도 기출이랑 병행하는게 좋겠죠?

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수학 열공 · 349503 · 14/04/02 01:17 · MS 2017

예~ 그렇습니다. 익힘책에는 기본적인

유형에 대한 문제가 나와있고,

기출을 병행하시면 본인의 개념이

더욱 정교화 될 것입니다.

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수학 열공 · 349503 · 14/04/02 01:20 · MS 2017

열공수학 - 독학 수학 공부법 - 요약 칼럼입니다. http://orbi.kr/0004464201

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wkdtns · 502459 · 14/04/14 23:21 · MS 2014

지금 모의고사a형5등급나오는 학생입니다. 저는 지금 중간고사 끝나고 풍산자 다끝내고 기출로 들어갈생각인데 괜찮은걸까요 많은 걱정이되네요 지금학교에서는 수1 수능특강하고있고 제가 기본적인문제는 잘푸는데 3,4점 문제에 많이약해서 아는것만 풀고있어요

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수학 열공 · 349503 · 14/04/15 23:49 · MS 2017

풍산자 끝났으면 기출 들어가셔도 됩니다~ 더 좋은건 풍산자 틀린문제들 1번 더 보시고 기출 들어가세요

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