[박재우T] 안녕하세요
게시글 주소: https://app.orbi.kr/00040201877
안녕하세요. 박재우T 입니다.
라스합시다 ^^
오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.
요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?
물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만
과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.
공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를
다시 한번 소개하고자 합니다.
아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ?
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.
기억나시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
그냥 집공할까요?
-
확통이 끝도 없게 어렵게 낼 수 있는 과목 아닌가???
-
아수라 커리따라가기+매주 1-2회 실모면 충분할까요? 연계공부도 틈틈이 할것같습니다
-
1. 휴대폰 없애라 도움 크게 됨 2. 공부하다가 일어나서 담배피고싶고 딴청피우고...
-
수능끝나고 팁이나 문제들 같은 거 만들어야지 사실 지금 개념형 2회분치는 제작됨...
-
19) 6
1130 n축 3번을 벅벅
-
오르비 개웃긴점 3
개찐따들이 개찐따 욕하고그럼 Real factos 똥이랑 설사랑 싸움 ㅋㅋ
-
맞는거같긴함요
-
와 근데 나만개찐따허접도태육수오타쿠씹덕한남이라 울었다 1
나도 메인글처럼
-
[선 요약] 수능 : 이번 9월 모의고사 집풀이 100(화작) / 92(미적) /...
-
천코만주세요 1
감사하빈다
-
명절이라 가족단위로 와서 스터디룸에서 왁자지껄 아주 난리네.. 그냥 카페를 가시던가.. 이게 뭔..
-
통화량이 증가하거든요 깔깔깔
-
찐막 고민글… 서바 끼려 하는데 어떤 쌤이 좋을까여 쫑느는 이미 들어봤는데 해설...
-
길ㅣ길ㅣ길ㅣ길ㅣ보도 인데 네번째에 주차 해놓으니까 자리가 없어서 세번째에 해놓음ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
이감 홈페이지에서 파는 19만 2천원짜리 파이널패키지 중 간쓸개 파이널만 따로...
-
3등급 n티켓 시즌1 vs 빅포텐 시즌1 뭐가 좋을까요 8
제목대로 얻어갈거 더 많은?? 2등급 확보하는데 좀 더 도움 될만한 n제...
-
미적분이 수1수2에 비해 겁나게 못하는데 어떻게 해야 실력 단기간에 끌어올릴수 있을까요??
-
1. 공인중개사 2. 컴활/코딩 3. 외국어 이중에서 뭘하는게 좋을거같음?
-
알 엄마와 함께하고싶은 모의고사 시ㅏ바ㅏ라랄ㄹ러ㅑㅑ아아앙ㅇ
-
좋은 외모라는건 내가 가질수 없는것이다 라고 인정하고 포기하는게 중요함 가질 수...
-
말 은근 잘알아듣네요?? 목소리가 커스터마이징 안되는게 아쉽지만...이정도면 좋은듯...
-
씨발럼들아
-
수학 기출 한바퀴 이상 돌긴했는데 기출커리 또타는거 오바? 0
해설보다가 굉장히 맘에드는 강사생겨서 그강사 기출분석 보고싶어짐
-
아직 시중 n제 실모 풀거 차고넘치긴한데.. 파이널 시대가 다들 좋다길래 들어볼까...
-
국어 0
국어 고민입니다 김승리랑 피램중에 뭐할까요?
-
기하특) 4
뉴비, 중급자, 고인물이 어려워하는 단원이 모두 다르다.
-
수학 3등급 6
빅포텐s1,2 이해원s1까지 풀었는데 한완기나 한완수를 풀면 에바인가요? 제...
-
최저 맞춰야 하는데 자꾸 영어 3뜨니깐 자괴감 ㅈㄴ 드네요.... 팁 없나요??
-
흐
-
다들 fantastic 합니다 ㅋㅋ 난생 처음 듣는 대학 천지 고등학교에서 본...
-
34등급이 다 맞음?? 미적분 34등급이 미적 28 30을 맞추는 가능세계는 없는데 얼마나 쉬운거임
-
품절이래서 놀랐는데 결국 대성에서 구매함ㅠㅠ 나머지도 미리 사놓아야할듯..
-
하사십어렵네요 0
1회 10문제중에 못건들거나 오래걸리는거 1~2개씩은 꼭 나오네요 실모풀때보다 체력...
-
69모 다 4등급이에요 근데 컷에 걸려잇어서 거의5등급이에요 제가 확통은 좋아해서...
-
국어 모의고사 중에서 선지에 나오는 모르는 단어를 모아서 찾으려 하는데, 교육청꺼도 해야 하나요?
-
로그 밑이 a일 때 a>0 ,a=1이 아니다 이렇게 2가지 조건이 로그 밑의...
-
이게 섹스지.. 에 그 섹스하려고요
-
집에서 할수있나요 공부.. 밖에나가기너무귀찮다
-
우 1
우우우우우우우ㅜ
-
이왜진?
-
Q1. 권역별 인구많은 곳 탑 몇위까지 외우시나요? Q2. 시도별 인구많은곳 탑...
-
얼마나 쓰심.?
-
좀 못하는건 나이가 있으니까 그러려니 하는데 못할때마다 표정 찡그리고 코칭스탭이랑...
-
하사십 0
하사십 많이 어려운가요? 드릴, 설맞이까지 다 풀고 문해전2랑 하사십 중에 고민...
-
혹시 현역 고1분들 순공시간이랑 내신등급 좀 적고 가주시먄 안될까여 ㅠㅠ
-
전북대(4합6) 전남대(3합5) 지역인재 내신 어디까지 떨어질까요? 솔직히 전남대는...
-
팀플할 때 이 점이 가장 잘 느껴짐 ㅋㅋㅋ
이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!