2020년 10월 모의고사 수학 가형 30번 해설

오늘은 한달 전 시행됐던 10월 모의고사 수학 가형 (이과) 30번 문제 풀이방법에 대하여 알려드리겠습니다.

단순히 한 문제에 대한 풀이로 마치는 것이 아니라 문제를 푸는 근본적인 방법에 대하여 조언해드리니, 킬러문제가 고민이신 분들은 꼭 칼럼을 꼼꼼히 읽어주세요.

먼저 2020년 10월 모의고사 수학 가형 30번 문제를 소개합니다. 아직 문제를 풀어보지 않은 분들은 반드시 풀이를 보기전에 스스로 문제를 풀어보세요.

다음으로, ebsi에 수록되어 있는 공식 풀이방법을 소개해드리겠습니다.

물론 쉬운 문제는 아니였습니다. 그러나 킬러문제중 가장 어렵기로 유명한 30번의 평균 난이도를 고려하면 다른 30번들 보다는 쉬운 편이라 할 수 있습니다. 

따라서 30번에 도전하려는 마음가짐으로 이 칼럼에 들어오신 여러분들이라면, 스스로 풀지는 못했더라도 답지 풀이 정도는 충분히 이해하실 수 있을 것입니다.

그러나 항상 가장 중요한 것은 단순 이해를 넘어서, 비슷한 문제가 나오면 내가 스스로 풀 수 있을지, 풀이를 온전히 내 것으로 만들 수 있을지 생각해 보는 것입니다.

지금부터 풀이과정을 하나씩 구체적으로 살펴보며 풀이를 여러분의 것으로 만들 수 있도록 도와드리겠습니다. 

첫번째로, f(0) = f(-2)임을 문제에서 제시했습니다. 이차함수이기 때문에 숙련된 분들은 성질을 이용하여 f(x) = kx(x+2) + q 라고 바로 잡을 수 있을 것입니다.

그러나 제가 바람직하다고 평가하는 합리적인 풀이는, 공식 답지처럼 조금 돌아가더라도 "누구나 생각해낼 수 있는 아이디어"입니다.

따라서 바로 식을 잡기가 어렵더라도, f(x)에 0,-2를 대입하여 식을 전개해도 전혀 문제가 없으며 동일한 결론을 유도해 낼 수 있습니다.

첫번째 과정을 통하여 p를 k에 대하여 나타내는 데 성공했습니다. AB < 0 의 형태가 나왔네요. 따라서 두번째로 -1을 기준으로 x 의 범위를 나누는 것은 당연합니다.

아마 대부분의 분들이 아직까지는 의문이 들지 않을 것입니다. 문제는 다음 파트에서 발생합니다.

풀이 자체를 이해하는 분들은 제법 계실 것입니다. 그러나, g'(-1)=-2을 구하는데 갑자기 g', g"을 구하는 이유는 무엇인가요?

그리고 비슷한 문제가 나왔을때 우리는 똑같이 논리를 전개하여 문제를 풀어낼 수 있을까요? 지금부터는 합리적인 논리 전개 방법에 대하여 말씀드리겠습니다.

첫번째로, 우리는 우리가 유도한 이 식을 어떻게 사용할지 고민해봐야 합니다. g(x)가 x = -1의 전후로 mx+m이라는 식과 부호가 바뀌려면 어떻게 해야할까요?

우선 x에 -1을 대입해 g(-1) = -m+m 값이 나와야 합니다. 그래야 부호가 바뀔 수 있는 최소한의 조건이 만족됩니다.  즉 첫번째 식 g(-1) = 0 이 유도됩니다. 

그러나 여기서 우리는 하나의 식을 더 생각해내야 합니다. 왜냐하면 g(-1) = 0 은 필요조건일 뿐이지, g(-1) = 0 이라고 해서 주어진 부등호가 반드시 성립하는 것이 아니기 때문입니다. 

여기에 식을 만족시키려는 m의 최소값이 2라는 힌트가 주어져 있습니다. 즉 이 식을 이용하여 추가 조건을 구하라는 것을 깨달을 수 있습니다.

저는 이후의 풀이는 공식 풀이와는 조금 다른 방식으로 해결했습니다. 생각해보세요. -1을 기점으로 mx+m와의 대소가 변하려면 어떻게 해야할까요?

반드시 그림과 같은 형태가 나와야합니다. 즉 함수값이 같은 것 뿐만 아니라 반드시 m이 g'(-1)보다는 크거나 같아야 한다는 것이죠. 이때 m의 최소값이 -2이므로, g'(-1) = -2 가 되는 것은 자명합니다.

이제 두 식을 연립하여 다음 식을 유도할 수 있습니다.

이 식은 문자 3개, 식1개의 형태입니다. 즉 2개의 식만 더 있으면 문제를 풀어낼 수 있습니다. 이제 (나)식을 한번 살펴볼까요? 

(나) 조건은 딱 두개의 식을 구할 수 있도록 되어 있습니다. 또한 g(x)는 지수 위의 식을 미분하면 아래의 함수가 나오는 형태기 때문에, 매우 적분하기 쉽습니다.

따라서 이제 문자 3개, 식3개, a,k,q를 모두 구할 수 있다는 것입니다. 문제의 풀이를 단순히 쭉 읽어봤을때는 스스로 풀기가 어렵다고 생각할 수 있습니다.

그러나 하나씩 과정을 살펴보며 왜 이런 아이디어를 사용 할까?에 초점을 맞추어 복습을 한다면, 문제를 푸는 것이 점점 쉬워진다는 것을 느낄 수 있습니다.

여러분들 스스로도 "내가 왜 이러한 방식으로 논리를 전개해나가고 있을까" 라는 질문을 스스로 던지며 문제를 풀어보세요. 근본적인 실력이 크게 향상될 것입니다.