y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? & 유리화는 왜하는걸까?
게시글 주소: https://app.orbi.kr/00011115763
안녕하세요. 일반청의미입니다.
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까? : http://orbi.kr/00010841663
저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!
곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? : http://orbi.kr/00010980265
정답갑니당.
A : y=0 말고 y=1/2x도 접선, y=-1/2x도 접선…. 그러면 접선이 매우 많아지죠.
원점을 지나고 기울기가 -1에서 1 사이인 직선 모두가 접선이 됩니다.
모두가 원점을 스치면서 지나가니까요
접선의 정확한 정의는 미분계수를 기울기로 갖는 직선입니다.
미분계수는 그래프 위 두 점 사이의 기울기의 극한이며, 접선의 정확한 정의는 할선의 극한입니다.
할선의 극한이라는 말이 애매하지만, 극한의 정의로 미루어보면 극한값이 존재하려면, 좌극한과 우극한이 같은 값으로 수렴해야 합니다.
직선으로 확장시켜보면, 좌측에서 가까워져 가는 할선과 우측에서 가까워지는 할선의 극한 모두 한 직선으로 일치해야 합니다.
이렇게요!
좌극한과 우극한이 다르면 극한의 정의에 의해 어떤 것에 가까워진다고 단정짓기 애매하니까요! 그 사이 어떤 값을 택해야할지 애매한 것입니다.
우리는 한점에서 직선을 그을 수 없습니다. 하지만 접선은 그을 수 있게 된 이유는 극한을 통해 그 직선을 정확하게 하나로 결정할 수 있었기 때문입니다. 결정할 수 없다면? 당연히 한점에서 직선을 그을 수 없으니, 접선이 정해지지 않겠죠! 보통 뾰족점에서 접선이 무한히 많이 생깁니다. 이것을 첨점이라 하며, 그 점에서 함수는 미분 불가능합니다.
x값에 그 값에서의 미분계수가 y값이 되어 대응되는 함수를 도함수라 합니다.
도함수도 함수입니다! 즉 x값 하나에 y값 하나가 대응되어야하며, 도함수가 존재하려면 원함수가 정의되는 곳에서 모두 미분 가능해야 합니다.
접선이 많으면, 대응되는 접선의 기울기가 1개 이상이기 때문입니다.
Q : 그렇다면 왜 y=|f(x)|에 미분 불가능한 점이 생길 가능성이 있을까요?
절댓값의 정의는 수직선 위의 원점에서 어떤 점까지의 거리입니다. 항상 양수에요.
절댓값 기호 안의 값이 음수일 때는 마이너스가 붙어서 양수가 됩니다.
절댓값 기호 안의 값이 양수일 때는 f(x), 절댓값 기호 안의 값이 음수일때는 –f(x).
즉, 함숫값의 부호가 바뀔 때 함수또한 바뀐다는 것입니다!
서로 다른 함수 y=f(x)와 y=–f(x)가 이어져 있습니다. f(x)가 모든 실수에서 미분가능한 함수라 하더라도 y=f(x)와는 다른 함수 y=-f(x) 두개가 이어져있을때 미분 가능한지는 알 수 없습니다.
즉 함수가 바뀌는 부분에서 미분가능한지를 조사해야합니다.
함수가 바뀌는 부분이 어디인지에 주목하면 미분가능성 문제를 수월하게 풀 수 있습니다.
1. f(x)와
에 절댓값이 붙어있다. 이 절댓값 함수는 어디에서 바뀔까?
2. f(x)는 x=-1에서 함수가 바뀐다. 그러면 이것을 기준으로 나눠주면 될거야.
3.
는 어디에서 함수가 바뀔까?
……………….
이런 식으로 문제풀이가 진행됩니다.
1. g(x)가 절댓값이 두개 붙어있다. g(x)는 x에 따라 함수식이 바뀔거야.
2. 바깥의 절댓값을 생각하기엔 안의 절댓값 때문에 정확하게 알 수가 없다.
3. 일단 맨 안쪽의 절댓값부터 생각해보자. X=0 좌우에서 함수가 바뀔거야.
4. X=0 주변에서는 함숫값이 1 근처일거야. 그 주변에서는 항상 양수일거야.
5. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
6. X가 0이상에서는 함수가 언제 바뀔까?
7. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
사실 문제를 풀 때, 계산을 전혀 할 수 없어서 문제를 못푸는 경우보다는
문제를 풀기위한 아이디어가 부족해서 못푸는 경우가 많습니다.
그러므로 그 아이디어를 계속 고민해야하며, 그 근거는 개념에 있습니다.
사실 많은 분들이 예견해주신듯 합니다..ㅋㅋㅋ
요약하자면, 극한값은 좌극한과 우극한이 일치해야 존재합니다.
일치하지 않으면, 그 사이의 어떤 값으로 가까워지는가를 설명하기 힘들기 때문입니다.
그러면 다음주제를 소개해볼게요
유리화는 왜 하는걸까?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
큐브는 13
매번 느끼는 거지만 과탐은 수요<<<<공급인 것 같음 타 과목은 안 해서 모르겠음
-
어떡하지
-
점심 외부 식사 가능한가요? 아니면 도시락 따로 준비해가야 하나요
-
정말 무섭다... 이사람들은 진짜 지가 뭐 좀 되는사람들임
-
만 없는 이유가 뭔가요 …
-
두 곡선이 접한다-식의 직접적인 서술이 가능한가요? 제가 이것때문에 중3교과서부터...
-
adhd 검사해야함? adhd 검사하려면 돈 많이 드나? 병원 + 약값 10만원 안으로 되나
-
왜지
-
마라탕 먹고 싶다 15
-
ㅇㅇ
-
기출 이제 막 끝냈습니다 6모 미적 2틀 (29 30)
-
아님?
-
네 바로 접니다.
-
무슨 공부 해야되나여..작년에 점수로는 88이었는데 올해 수능은 96이...
-
비록 강k 해설강의만 듣는거지만 그래도 당산이 제 마지막 희망입니다
-
논술에 좀 재능있고 1년 동안 준비하면 중경외시? 건동홍 정도 인문논술 쓰고 최저...
-
딴건 모르겠는데 나이들수록 계산능력은 떨어지는거같음.. 0
암기도 옛날엔 진짜잫했는데 지금은 퇴화한게 느껴짐..
-
중학교때 수행 다 말아먹어서 중1 전교 23등이었는데 왜 내가 전교 1등이었던걸로...
-
국어 공부법 1
현역인데 6모 국어 4가 나왔는데 이감을 푸는 것이 좋을까요 아니면 강기분을 듣는...
-
잇올 반휴권 휴가권 이건 대체 왜 존재하는건가요 휴가권 쓰려고 반납하는 상점보다...
-
한국에서도 시민권 있으면 투표 가능하죠? 어디에서 해야하는지 아시는분? 누구 뽑을까나~
-
뻘글 8
쓰고싶은 글이 있는데 거의 전술핵 투하 급의 개더럽고 수준낮은 글이라 불특정다수가...
-
어차피성적을아무리잘받아도의대는못가긴하는데
-
닉변하고 왔어요 8
체리민->고대26 체리민 사진만봐도심장이넘두근대…………..ㅠㅠ
-
우울 2
ㅠ
-
화작 기출 0
기출 언제꺼까지 푸는게 좋을까요?
-
누군가한테 의지하고싶다
-
글에 앞서 성적인증입니다 이번 6모 표준점수를 보았을 때 생1 만점과 생윤 만점의...
-
잠안온다 0
으악 ㅜㅜㅜㅜㅜ
-
그건 사바사임 나이먹고 공부나 집중력쪽으로 확 증가하고 깨우친애들은 잘할수있겠지 뭐...
-
본인은 고2까지 수학의 천재는 아니어도 완전 못하는 편은 아니었기에 수학을 공부하고...
-
단 하루라도 그럴 수는 없나요
-
https://drive.google.com/drive/folders/1G54f5ja...
-
역대 최고 도파민 개꿀잼 미국대선이 되지 않았을까요 (이민자 1세대여서 일론머스크는 대선못나옴)
-
일단 나부터 ><
-
대전 내신 2등급 초반 예상되는 고1인데 시험이 쉬워서 1개 틀리는순간...
-
이번이 오사카 4번째라 USJ,오사카성,오사카타워,교토타워,도톤보리 같은곳은 다...
-
저처럼 교육청에 신청해서 봐보신 분들 시험 장소가 어떻게될까요… 나중에 공지해준다고...
-
메디컬 중에서 보통 어느정도 가요?
-
왜 내가 다 벅차오르는지.. 수백번의 밤을 고독하게 또 남들보다 더 치열하게 사신...
-
ㅇ
-
그래도 정시로 연고대정도 가는 성적은 나오는거 아님?
-
집중력 개ㅆㅎㅌㅊ인데 ADHD인가
-
. 1
-
이렇게라도 안하면 진짜로 하루종일 인스타 디엠하고 릴스 보다가 수능 망치고 자1살할...
-
11111인증 3
ㅋ
-
친구 수학황인데 2
학교마치거 12시까지 매일 마주보고 공부했는데 얘가 수학을 진짜존나안하는데.. 수학...
-
ㄱㄱ
-
밤잠아침잠 가릴거없이 너무 졸려
-
걍 계속잇게됨 하
Lim (a-b)와 같은 형태에서 a,b 둘다 발산하는 형태이면 극한의 연산과 관련된 형태를 사용할 수 없기 때문에 유리화를 통해 극한의 연산 법칙을 적용 가능한 형태로 바꿔주는것 아닌가요...? 그나저나 일반청의미님 글이 모아보기에서 계속 안보여욤 ㅠㅠ
그래도 lim c/d 에서 c, d 둘다 발산하는 형태일걸요!
사실 lim (x-1)/(x-2)같은거에서 최고차항 지수/계수비교하는게 일상화되어서 놓칠수 있는 부분이지만 x값이 임의의 상수값이 아닌 무한대로 발산했을때의 극한의 경우 lim1/x=0과 같은 몇개의 공리를 적용할 수 있는 형태로 변형한다 (ex.x-1/x-2를 (1-(1/x))/(1-2/x))와 같은 형태로 )뭐 그렇게 배웠던 기억이 나서욤! 유리화도 비슷한 맥락으로 이해했던것같은...
넹 더 자세하게 설명해주면 되십니당.
또한 분모의 유리화는 왜 하는지도 생각해주시면 좋아요.
유익한정보 고맙습니다~~ 이런글은 닥팔이야! ^,^